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In questo lavoro si studiano alcune condizioni sufficienti affinché un operatore abbia dei punti uniti; alcuni risultati generalizzano quelli di Rothe e Krasnoselskiĭ.

Sia $(X,d)$ è uno spazio metrico completo e $T:X\to X$ una trasformazione tale che $d(Tx,Ty)\le kd(x,y)$ dove $k\in (0,1)$ e $x,y\in X$, allora per il teorema di Picard-Banach $T$ ha un unico punto fisso. Negli ultimi anni varie generalizzazioni di questo risultato sono state ottenute. Principale scopo di questa Nota è di ottenere nuove generalizzazioni dei risultati di questo tipo.

Lo spazio $A^p$ () di funzioni definite su un intervallo [a,b] tale che per ogni divisione sia con la norma ${|||f|||}_p^p={sup}_{\mathrm{\Delta }}{R}_{\mathrm{\Delta }}(f)+sup{|f(x)|}^p$, è uno spazio di Banach. In questo lavoro si studiano gli operatori T in $A^p$ aventi la seguente proprietà: esiste un intervallo [a,b] tale che per ogni polinomio $p(\lambda )$ valga l'ineguaglianza $\parallel p(\tau )\parallel \le {|||p(\lambda )|||}_p$, e si dà una decomposizione spettrale per questi operatori.

Per gli operatori di classe (N,k) su spazi di Banach, cioè per operatori lineari e limitati su uno spazio di Banach aventi la proprietà che per ogni $x\in X$ $\parallel x\parallel =1$ risulti ${\parallel Tx\parallel }^k\le \parallel T^{k}x\parallel$, si dimostra che $m_T=\{x\in X,\parallel T^{n}x\parallel \le \parallel x\parallel \}$ è un sottospazio invariante per tutti gli operatori che commutano con $T$. Vengono quindi studiate altre proprietà di tali operatori.

Si estende un risultato di N. Suzuki sulla convergenza della serie di Neumann per un operatore compatto in uno spazio di Banach.

Si estende un risultato di N. Suzuki sulla convergenza della serie di Neumann per un operatore compatto in uno spazio di Banach.

Si estende un teorema di J. Wermer sugli operatori normali di uno spazio di Hilbert agli operatori di uno spazio di Banach.

In questa Nota sono dimostrati nuovi risultati sull'invertibilità dei semigruppi di operatori $(T_t,t\ge 0)$ su spazi di Banach.

In questa Nota si considerano classi di operatori su spazi di Banach contenenti classi di operatori che ammettono una regolarizzazione generalizzata. Facendo uso della misura di non compattezza di Kuratowski sono dimostrate alcune proprietà diqueste classi.

Si dimostra un teorema di surgettività per l'operatore I-A-B ove A è una contrazione e B una $\alpha$-contrazione. Usando poi un lemma di M. Martelli si dà una nuova dimostrazione di un risultato precedente degli Autori.