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Let the Banach space $X=A\oplus B$ be the direct sum of two subspaces $A,B\subset X$, and let $f:A\to X$, $g:B\to X$ be continuous mappings. A condition is given on $f$ and $g$ in order to ensure that the intersection $f(A)\cap g(B)$ is not empty.

Si dimostra il seguente teorema: «Sia $T:X\to X$ una applicazione quasilimitata e addensante (vedi Introduction) di uno spazio di Banach in se stesso. Sia , allora l'equazione $y=x-T(x)$ ammette almeno una soluzione per ogni $y\in X$». Come corollari si ottengono alcuni risultati già noti.

Sia $f:\overline{B}\to E$ una funzione continua, addensante definita nel disco unitario $\overline{B}$ di uno spazio di Banach $E$, e senza punti fissi sulla frontiera $S$ di $\overline{B}$. È noto che in tal caso deg $(I-f)B,0)$ è definito (cfr. Nussbaum, [6]) e se è diverso da zero allora il campo vettoriale $I-f:\overline{B}\to E$, $(I-f)(x)=x-f(x)$, ha almeno un punto singolare $x_0\in B$. Una condizione che implica deg $(I-f,B,0)\ne 0$ è la cosiddetta condizione di Leray-Schauder $$\lambda x=f(x)\mathit{\hspace{1em}}\text{per qualche}\mathit{\hspace{1em}}x\in S\to \lambda \le 1$$ In questo lavoro si dà una condizione più generale di quella di Leray-Schauder. Essa può essere applicata anche quando f è definita...

Siano $E$, $E$ due spazi di Banach, $f$ e $g:E\to F$ due funzioni continue. In questa Nota preliminare si danno dei criteri per stabilire 1'esistenza di soluzioni dell'equazione $f(x)=g(x)$. In un lavoro di prossima pubblicazione verranno esposte le relative dimostrazioni insieme ad alcune applicazioni alle equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali.