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We consider a class of 1d Lagrangian systems with random forcing in the spaceperiodic setting: $${\phi }_t+{\phi }_x^2/2=F^{\omega },x\in S^1=ℝ/\mathbb{Z}.$$ These systems have been studied since the 1990s by Khanin, Sinai and their collaborators [7, 9, 11, 12, 15]. Here we give an overview of their results and then we expose our recent proof of the exponential convergence to the stationary measure [6]. This is the first such result in a classical setting, i.e. in the dual-Lipschitz metric with respect to the Lebesgue space $L_p$ for finite $p$, partially answering...

Nous nous intéressons ici à la turbulence de Burgers 1D, ou « Burgulence ». Nous présentons des résultats valables pour l’équation de Burgers généralisée périodique stochastique 1D : $$u_t+f^{\text{'}}\left(u\right)u_x=\nu u_{xx}+\eta ,t\ge 0,x\in S^1=ℝ/\mathbb{Z},$$ où $\eta (t,x)$ est une force de type bruit blanc en $t$ et lisse en $x$. Plus précisément, nous estimons les normes de Sobolev et les quantités à petite échelle analogues à celles qui sont intéressantes pour l’étude de la turbulence hydrodynamique, telles que les incréments et le spectre d’énergie. Les résultats...