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Soit $P\in ℝ[X_1,...,X_n]$ un polynôme. On appelle série de Dirichlet associée à $P$ la fonction : $s\mapsto Z(P;s)=\sum _{m\in {\mathbb{N}}^{*n}}P(m{)}^{-s}(s\in ℂ)$. Dans cet article nous étudions l’existence et les propriétés du prolongement méromorphe d’une telle série sous l’hypothèse qu’il existe $B\in ]0,1[$ tel que : i) $P\left(x\right)\to +\infty$ quand $\left|\right|x\left|\right|\to +\infty$ et $x\in [B,+\infty {[}^n$ et ii) $d\left(Z\right(P),[B,+\infty {[}^n)\>0$ où $Z\left(P\right)=\{z\in {ℂ}^n|P\left(z\right)=0\}$. Cette hypothèse est probablement optimale et en tout cas contient strictement toutes les classes de polynômes déjà traitées antérieurement. Sous cette hypothèse nos principaux résultats sont : l’existence du prolongement méromorphe au plan...