Singularité de séries de Dirichlet associées à des polynômes de plusieurs variables et applications en théorie analytique des nombres

Essouabri, Driss. "Singularité de séries de Dirichlet associées à des polynômes de plusieurs variables et applications en théorie analytique des nombres." Annales de l'institut Fourier 47.2 (1997): 429-483. <http://eudml.org/doc/75234>.

@article{Essouabri1997,
abstract = {Soit $P\in \{\Bbb R\}[X_1,\ldots \{\},X_n]$ un polynôme. On appelle série de Dirichlet associée à $P$ la fonction : $s\mapsto Z(P;s) =\sum \limits _\{ m\in \{\Bbb N\}^\{*n\}\} P(m)^\{-s\}\; (s\in \{\Bbb C\})$. Dans cet article nous étudions l’existence et les propriétés du prolongement méromorphe d’une telle série sous l’hypothèse qu’il existe $B\in ]0,1[$ tel que : i) $P( x)\rightarrow +\infty $ quand $\vert \vert x\vert \vert \rightarrow + \infty $ et $x \in [B,+\infty [^n$ et ii) $d(Z(P),[B,+\infty [^n)&gt;0$ où $Z(P)=\lbrace z\in \{\Bbb C\}^n\vert P(z)=0\rbrace $. Cette hypothèse est probablement optimale et en tout cas contient strictement toutes les classes de polynômes déjà traitées antérieurement. Sous cette hypothèse nos principaux résultats sont : l’existence du prolongement méromorphe au plan complexe de la série de Dirichlet, la caractérisation d’un ensemble de candidats pôles, la majoration de leurs ordres par la dimension $n$ et l’obtention de majoration du prolongement méromorphe sur les bandes verticales de $\{\Bbb C\}$. Comme application nous montrons l’existence d’un développement asymptotique limité de la fonction de comptage $N_P(t)=\#\lbrace m \in \{\Bbb N\}^\{*n\}\vert P(m)\le t \rbrace $ quand $t\rightarrow + \infty $.},
author = {Essouabri, Driss},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {Dirichlet series; meromorphic continuation; integral representation; resolution of singularities; semi-algebraic set},
language = {fre},
number = {2},
pages = {429-483},
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title = {Singularité de séries de Dirichlet associées à des polynômes de plusieurs variables et applications en théorie analytique des nombres},
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TY - JOUR
AU - Essouabri, Driss
TI - Singularité de séries de Dirichlet associées à des polynômes de plusieurs variables et applications en théorie analytique des nombres
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1997
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 47
IS - 2
SP - 429
EP - 483
AB - Soit $P\in {\Bbb R}[X_1,\ldots {},X_n]$ un polynôme. On appelle série de Dirichlet associée à $P$ la fonction : $s\mapsto Z(P;s) =\sum \limits _{ m\in {\Bbb N}^{*n}} P(m)^{-s}\; (s\in {\Bbb C})$. Dans cet article nous étudions l’existence et les propriétés du prolongement méromorphe d’une telle série sous l’hypothèse qu’il existe $B\in ]0,1[$ tel que : i) $P( x)\rightarrow +\infty $ quand $\vert \vert x\vert \vert \rightarrow + \infty $ et $x \in [B,+\infty [^n$ et ii) $d(Z(P),[B,+\infty [^n)&gt;0$ où $Z(P)=\lbrace z\in {\Bbb C}^n\vert P(z)=0\rbrace $. Cette hypothèse est probablement optimale et en tout cas contient strictement toutes les classes de polynômes déjà traitées antérieurement. Sous cette hypothèse nos principaux résultats sont : l’existence du prolongement méromorphe au plan complexe de la série de Dirichlet, la caractérisation d’un ensemble de candidats pôles, la majoration de leurs ordres par la dimension $n$ et l’obtention de majoration du prolongement méromorphe sur les bandes verticales de ${\Bbb C}$. Comme application nous montrons l’existence d’un développement asymptotique limité de la fonction de comptage $N_P(t)=\#\lbrace m \in {\Bbb N}^{*n}\vert P(m)\le t \rbrace $ quand $t\rightarrow + \infty $.
LA - fre
KW - Dirichlet series; meromorphic continuation; integral representation; resolution of singularities; semi-algebraic set
UR - http://eudml.org/doc/75234
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