Advanced Search

L’objet de la note est l’extension du principe de la borne uniforme pour le cas des suites d’opérations bornées et homogènes, mais non sous-additives. Dans ce but l’auteur introduit la notion de suite asymptotiquement sous-additive : la suite d’opérations $u_n\left(x\right)$ définies dans un espace complet $E$ est asymptotiquement sous-additive, si elle satisfait aux conditions $$\parallel u_n(x+y)\parallel \le \parallel u_n\left(x\right)\parallel +O\left(\right|u_n|·\parallel y\parallel )$$ uniformément pour $x,y\in E$ et $$\underset{\parallel y\parallel \le 1}{inf}[\parallel u_n(x+y)\parallel +\parallel u_n\left(x\right)\parallel -\parallel u_n\left(y\right)\parallel ]\ge O(|u_n\left|\right)$$ pour chaque $x\in E$, mais non nécessairement uniformément par rapport...

Soit $\left\{{\phi }_{\nu }\right(x\left)\right\}$ une suite orthonormale dans l’intervalle $(-\infty \<a\le x\le b\<\infty )$. L’auteur démontre, que ${\sum }_{\nu =1}^N\left(1-\frac{\nu -1}{N}\right){\phi }_{\nu }\left(x\right)=0\left(N^{\frac{1}{2}}(logN{)}^{\frac{1}{2}+ϵ}\right)$ pour tout $ϵ\>0$ et presque partout dans $a\le x\le b$. La démonstration est basée sur un théorème de MM. Gál et Koksma et on peut généraliser aussi pour le cas $-\infty \le x\le \infty$ (théorème auxiliaire). En utilisant ce théorème auxiliaire on obtient tout de suite l’estimation connue pour les fonctions de Lebesgue (théorème 2) [voir Kaczmarcz et Steinhaus, Theorie der Orthogonalreihen, Warszawa, 1935, 577].