Let $H_n$ be the Heisenberg group of dimension $2n+1$. Let ${\mathcal{L}}_1,\mathrm{\dots },{\mathcal{L}}_n$ be the partial sub-Laplacians on $H_n$ and $T$ the central element of the Lie algebra of $H_n$. We prove that the kernel of the operator $m\left({\mathcal{L}}_1,\mathrm{\dots },{\mathcal{L}}_n,-iT\right)$ is in the Schwartz space $S\left(H_n\right)$ if $m\in S\left({\mathbb{R}}^{n+1}\right)$. We prove also that the kernel of the operator $h\left({\mathcal{L}}_1,\mathrm{\dots },{\mathcal{L}}_n\right)$ is in $S\left(H_n\right)$ if $h\in S\left({\mathbb{R}}^n\right)$ and that the kernel of the operator $g\left(\mathcal{L},-iT\right)$ is in $S\left(H_n\right)$ if $g\in S\left({\mathbb{R}}^2\right)$. Here $\mathcal{L}={\mathcal{L}}_1+\mathrm{\dots }+{\mathcal{L}}_n$ is the Kohn-Laplacian on $H_n$.

Sia $f:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^k$ con $m\ge k\ge 1$ una funzione analitica. Se il luogo critico di $f$ è compatto, esiste una fibrazione $C^{\mathrm{\infty }}$ localmente triviale associata ai livelli $f$. Supponiamo $k\ge 2$ e sia ${\pi }_k$ la proiezione $\left(x_1,\mathrm{\dots },x_{k-1},x_k\right)\mapsto \left(x_1,\mathrm{\dots },x_{k-1},x_k\right)$. Sotto una condizione sul luogo critico di $\tilde{f}={\pi }_k\circ f$ esiste anche una fibrazione $C^{\mathrm{\infty }}$ localmente triviale associata ai livelli di $\tilde{f}$. Siano $F$ e $\tilde{F}$ le fibre rispettitive, e $I$ l'intervallo unità reale. Dimostriamo qui che $\tilde{F}$ è omeomorfa al prodotto $F\times I$. Nel caso di polinomi studiamo criteri effettivi. Diamo inoltre un'applicazione...

Let $\mathrm{\Omega }$ be a bounded open subset of $R^n$, $n>4$, of class $C^2$ . Let $u\in H^2\left(\mathrm{\Omega }\right)$ a solution of elliptic non linear non variational system $$a\left(x,u,Du,H\left(u\right)\right)=b\left(x,u,Du\right)$$ where $a\left(x,u,\mu ,\xi \right)$ and $b\left(x,u,\mu \right)$ are vectors in $R^N$, $N\ge 1$, measurable in $x$, continuous in $\left(u,\mu ,\xi \right)$ and $\left(u,\mu \right)$ respectively. Here, we demonstrate that if $b\left(x,u,\mu \right)$ has limit controlled growth, if $a\left(x,u,\mu ,\xi \right)$ is of class $C^1$ in $\xi$ and satisfies the Campanato condition $\left(A\right)$ and, together with $\frac{\partial a}{\partial \xi }$, certain continuity assumptions, then the vector $Du$ is partially Hölder continuous for every exponent $\alpha <1-\frac{n}{p}$.

Si considera, in uno spazio di Hilbert $H$ l'operatore lineare ${\mathfrak{M}}_0\phi =1/2\text{Tr}\left[D^2\phi \right]+〈x,AD\phi 〉-〈DU\left(x\right),D\phi 〉$, dove $A$ è un operatore negative autoaggiunto e $U$ è un potenziale che soddisfa a opportune condizioni di integrabilità. Si dimostra con un metodo analitico che ${\mathfrak{M}}_0$ è essenzialmente autoaggiunto in uno spazio $L^2\left(H,\nu \right)$ e si caratterizza il dominio della sua chiusura $\mathfrak{M}$ come sottospazio di $W^{2,2}\left(H,\nu \right)$. Si studia inoltre la «spectral gap property» del semigruppo generato da $\mathfrak{M}$.