Sia $X\subset {\mathbf{P}}^N$ una varietà irriducibile $n$-dimensionale localmente Cohen-Macaulay, $\mathbf{Q}$-Gorenstein e non di tipo generale; assumiamo $N=6$, $2n=N+2$ e $\text{dim}\left(\text{Sing}\left(X\right)\right)=2n-N$. In questo lavoro dimostriamo che $\text{deg}\left(X\right)\le {\left(N+1\right)}^{N-n}$ e quindi che l'insieme di tutte queste varietà è parametrizzato da un insieme finito di varietà algebriche.

Si calcola esplicitamente con l'aiuto di un computer l'espressione di ogni germe di biolomorfismo in un punto di una iperquadrica reale $Q$ in ${\mathbb{C}}^3$, che porti $Q$ in $Q$. Tale germe risulta ovviamente una trasformazione lineare fratta, che lascia $Q$ invariante.

Si considerano equazioni di Ginzburg-Landau complesse del tipo $u_t-\alpha \mathrm{\Delta }u+P\left({\left|u\right|}^2\right)u=0$ in ${\mathbb{R}}^N$ dove $P$ è polinomio di grado $K$ a coefficienti complessi e $\alpha$ è un numero complesso con parte reale positiva $\mathrm{\Re }\alpha$. Nell'ipotesi che la parte reale del coefficiente del termine di grado massimo $P$ sia positiva, si dimostra l'esistenza e la regolarità di una soluzione globale nel caso $\left|\alpha \right|<C\mathrm{\Re }\alpha$, dove $C$ dipende da $K$ e $N$.

Let $\mathrm{\Omega }$ be a bounded open subset of $R^n$, $n>4$, of class $C^2$ . Let $u\in H^2\left(\mathrm{\Omega }\right)$ a solution of elliptic non linear non variational system $$a\left(x,u,Du,H\left(u\right)\right)=b\left(x,u,Du\right)$$ where $a\left(x,u,\mu ,\xi \right)$ and $b\left(x,u,\mu \right)$ are vectors in $R^N$, $N\ge 1$, measurable in $x$, continuous in $\left(u,\mu ,\xi \right)$ and $\left(u,\mu \right)$ respectively. Here, we demonstrate that if $b\left(x,u,\mu \right)$ has limit controlled growth, if $a\left(x,u,\mu ,\xi \right)$ is of class $C^1$ in $\xi$ and satisfies the Campanato condition $\left(A\right)$ and, together with $\frac{\partial a}{\partial \xi }$, certain continuity assumptions, then the vector $Du$ is partially Hölder continuous for every exponent $\alpha <1-\frac{n}{p}$.