Given an open, bounded and connected set $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n$ with Lipschitz boundary and volume $\left|\mathrm{\Omega }\right|$, we prove that the sequence ${\mathcal{F}}_k$ of Dirichlet functionals defined on $H^1\left(\mathrm{\Omega };{\mathbb{R}}^d\right)$, with volume constraints $v^k$ on $m\ge 2$ fixed level-sets, and such that ${\sum }_{i=1}^m{v}_i^k<\left|\mathrm{\Omega }\right|$ for all $k$, $\mathrm{\Gamma }$-converges, as $v^k\to v$ with ${\sum }_{i=1}^m{v}_i^k=\left|\mathrm{\Omega }\right|$, to the squared total variation on $BV\left(V;{\mathbb{R}}^d\right)$, with $v$ as volume constraint on the same level-sets.

Si considera, in uno spazio di Hilbert $H$ l'operatore lineare ${\mathfrak{M}}_0\phi =1/2\text{Tr}\left[D^2\phi \right]+〈x,AD\phi 〉-〈DU\left(x\right),D\phi 〉$, dove $A$ è un operatore negative autoaggiunto e $U$ è un potenziale che soddisfa a opportune condizioni di integrabilità. Si dimostra con un metodo analitico che ${\mathfrak{M}}_0$ è essenzialmente autoaggiunto in uno spazio $L^2\left(H,\nu \right)$ e si caratterizza il dominio della sua chiusura $\mathfrak{M}$ come sottospazio di $W^{2,2}\left(H,\nu \right)$. Si studia inoltre la «spectral gap property» del semigruppo generato da $\mathfrak{M}$.

In questa nota dimostriamo stime asintotiche ottimali per le soluzioni deboli non negative del problema al contorno $$-{\mathrm{\Delta }}_{{\mathbb{H}}^n}u=u^{\left(Q+2\right)/\left(Q-2\right)}in\mathrm{\Omega },u=0\text{ in }\partial \mathrm{\Omega }.$$ $-{\mathrm{\Delta }}_{{\mathbb{H}}^n}$ è il Laplaciano di Kohn sul gruppo di Heisenberg ${\mathbb{H}}^n$, $\mathrm{\Omega }$ è un aperto non limitato e $Q=2n+2$ è la dimensione omogenea di ${\mathbb{H}}^n$. Utilizziamo successivamente le stime ottenute per dimostrare un teorema di non esistenza per (*) nel caso in cui $\mathrm{\Omega }$ sia un semispazio di ${\mathbb{H}}^n$ con bordo parallelo al centro del gruppo.

Si considerano equazioni di Ginzburg-Landau complesse del tipo $u_t-\alpha \mathrm{\Delta }u+P\left({\left|u\right|}^2\right)u=0$ in ${\mathbb{R}}^N$ dove $P$ è polinomio di grado $K$ a coefficienti complessi e $\alpha$ è un numero complesso con parte reale positiva $\mathrm{\Re }\alpha$. Nell'ipotesi che la parte reale del coefficiente del termine di grado massimo $P$ sia positiva, si dimostra l'esistenza e la regolarità di una soluzione globale nel caso $\left|\alpha \right|<C\mathrm{\Re }\alpha$, dove $C$ dipende da $K$ e $N$.