Let $h$ be a complex valued multiplicative function. For any $N\in \mathbb{N}$, we compute the value of the determinant $D_N:={det}_{i|N,j|N}\left(\frac{h\left(\left(i,j\right)\right)}{ij}\right)$ where $\left(i,j\right)$ denotes the greatest common divisor of $i$ and $j$, which appear in increasing order in rows and columns. Precisely we prove that $$D_N=\prod _{p{}^l\parallel N}{\left(\frac{1}{p^{l\left(l+1\right)}}\stackrel{l}{\prod _{i=1}}\left(h\left(p^i\right)-h\left(p^{i-1}\right)\right)\right)}^{\tau \left(N/p^l\right)}.$$ This means that $D_N^{1/\tau \left(N\right)}$ is a multiplicative function of $N$. The algebraic apparatus associated with this result allows us to prove the following two results. The first one is the characterization of real multiplicative functions $f\left(n\right)$, with $0\le f\left(p\right)<1$, as minimal values...

We express $\mathrm{\Delta }\left(x,N\right)$, as defined in the title, for $x=\frac{a}{q}$ and $q$ prime in terms of values of characters modulo $q$. Using this, we show that the universal lower bound for $\mathrm{\Delta }\left(N\right)={sup}_{x\in \mathbb{R}}\left|\mathrm{\Delta }\left(x,N\right)\right|$ can, in general, be substantially improved when $N$ is composed of primes lying in a fixed residue class modulo $q$. We also prove a corresponding improvement when $N$ is the product of the first s primes for infinitely many natural numbers $s$.

Questo articolo considera una successione di equazioni differenziali a derivate parziali non lineari in forma di divergenza del tipo $$-\text{div}\left(Q^{ϵ}G\left(x,N^{ϵ}\nabla u\right)\right)=f^{ϵ},$$ in un dominio limitato $\mathrm{\Omega }$ dello spazio $n$-dimensionale; $Q^{ϵ}=Q^{ϵ}\left(x\right)$ e $N^{ϵ}=N^{ϵ}\left(x\right)$ sono matrici con coefficenti limitati, $N^{ϵ}$ e è invertibile e la sua matrice inversa $R^{ϵ}$ ha anche coefficenti limitati. La non linearità è dovuta alla funzione $G=G\left(x,\xi \right)$; la condizione di crescita, la monotonicità e le ipotesi di coercitività sono modellate sul $p$-Laplaciano, $1<p<\mathrm{\infty }$, ed assicurano l'esistenza di...

Let $\mathrm{\Omega }$ be a bounded open subset of $R^n$, $n>4$, of class $C^2$ . Let $u\in H^2\left(\mathrm{\Omega }\right)$ a solution of elliptic non linear non variational system $$a\left(x,u,Du,H\left(u\right)\right)=b\left(x,u,Du\right)$$ where $a\left(x,u,\mu ,\xi \right)$ and $b\left(x,u,\mu \right)$ are vectors in $R^N$, $N\ge 1$, measurable in $x$, continuous in $\left(u,\mu ,\xi \right)$ and $\left(u,\mu \right)$ respectively. Here, we demonstrate that if $b\left(x,u,\mu \right)$ has limit controlled growth, if $a\left(x,u,\mu ,\xi \right)$ is of class $C^1$ in $\xi$ and satisfies the Campanato condition $\left(A\right)$ and, together with $\frac{\partial a}{\partial \xi }$, certain continuity assumptions, then the vector $Du$ is partially Hölder continuous for every exponent $\alpha <1-\frac{n}{p}$.

In questo lavoro viene trovata un'espressione esplicita per i rappresentanti dei laterali di sottogrupi parabolici di gruppi di Coxeter aventi lunghezza minima: dato un sistema di Coxeter $\left(\mathbf{W},S\right)$ ed un suo sottogruppo parabolico $\left({\mathbf{W}}_I,I\right)$, con $I\subset S$, si determina esplicitamente in ogni laterale ${\mathbf{W}}_{I}w$ di ${\mathbf{W}}_I$ un elemento avente lunghezza minima. Nella sezione 2 trattiamo i casi classici, i.e. $\mathbf{W}={\mathbf{A}}_n$, ${\mathbf{B}}_n$ e ${\mathbf{D}}_n$. Dopo ciò, nella sezione 3, diamo una procedura per risolvere il problema nei restanti casi eccezionali, insieme...