Si considerano equazioni di Ginzburg-Landau complesse del tipo $u_t-\alpha \mathrm{\Delta }u+P\left({\left|u\right|}^2\right)u=0$ in ${\mathbb{R}}^N$ dove $P$ è polinomio di grado $K$ a coefficienti complessi e $\alpha$ è un numero complesso con parte reale positiva $\mathrm{\Re }\alpha$. Nell'ipotesi che la parte reale del coefficiente del termine di grado massimo $P$ sia positiva, si dimostra l'esistenza e la regolarità di una soluzione globale nel caso $\left|\alpha \right|<C\mathrm{\Re }\alpha$, dove $C$ dipende da $K$ e $N$.

In questa nota dimostriamo stime asintotiche ottimali per le soluzioni deboli non negative del problema al contorno $$-{\mathrm{\Delta }}_{{\mathbb{H}}^n}u=u^{\left(Q+2\right)/\left(Q-2\right)}in\mathrm{\Omega },u=0\text{ in }\partial \mathrm{\Omega }.$$ $-{\mathrm{\Delta }}_{{\mathbb{H}}^n}$ è il Laplaciano di Kohn sul gruppo di Heisenberg ${\mathbb{H}}^n$, $\mathrm{\Omega }$ è un aperto non limitato e $Q=2n+2$ è la dimensione omogenea di ${\mathbb{H}}^n$. Utilizziamo successivamente le stime ottenute per dimostrare un teorema di non esistenza per (*) nel caso in cui $\mathrm{\Omega }$ sia un semispazio di ${\mathbb{H}}^n$ con bordo parallelo al centro del gruppo.

In this paper we consider two-dimensional quasilinear equations of the form $\text{div}\left(a\left(\left|\nabla u\right|\right)\nabla u\right)+f\left(u\right)=0$ and study the properties of the solutions u with bounded and non-vanishing gradient. Under a weak assumption involving the growth of the argument of $\nabla u$(notice that $\text{arg}\left(\nabla u\right)$ is a well-defined real function since $\left|\nabla u\right|>0$ on ${\mathbb{R}}^2$) we prove that $u$ is one-dimensional, i.e., $u=u\left(\nu \cdot x\right)$ for some unit vector $\nu$. As a consequence of our result we obtain that any solution $u$ having one positive derivative is one-dimensional. This result provides...

Questo articolo considera una successione di equazioni differenziali a derivate parziali non lineari in forma di divergenza del tipo $$-\text{div}\left(Q^{ϵ}G\left(x,N^{ϵ}\nabla u\right)\right)=f^{ϵ},$$ in un dominio limitato $\mathrm{\Omega }$ dello spazio $n$-dimensionale; $Q^{ϵ}=Q^{ϵ}\left(x\right)$ e $N^{ϵ}=N^{ϵ}\left(x\right)$ sono matrici con coefficenti limitati, $N^{ϵ}$ e è invertibile e la sua matrice inversa $R^{ϵ}$ ha anche coefficenti limitati. La non linearità è dovuta alla funzione $G=G\left(x,\xi \right)$; la condizione di crescita, la monotonicità e le ipotesi di coercitività sono modellate sul $p$-Laplaciano, $1<p<\mathrm{\infty }$, ed assicurano l'esistenza di...