Displaying similar documents to “Sur la dérivabilité des fonctions monotones”

Sur un théorème de M. Lusin

Stanisław Saks (1924)

Fundamenta Mathematicae

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Monsieur Lusin a démontre que l'ensemble des valeurs admises par une fonction aux points ou la dérivée unique existe et égale à 0, est de mesure nulle. Le but de cette note est de prouver qu'on peut remplacer dans l'énonce cite le mot "dérivée unique", par "un nombre dérivé quelconque de Dini".

Sur la nature des fonctions à carré sommable et des ensembles mesurables

A. Besikovitch (1923)

Fundamenta Mathematicae

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Théorème: Quelle que soit une fonction f(x) à carré sommable qu'on suppose définie aux points de l'intervalle (0,1) et nulle ailleurs, l'intégrale q(x) = ∫_0^1 (f(x+α)-f(x-α))/α dα considérée comme lim_{ϵ=0}∫_{ϵ}^1, est finie presque partout dans (0,1) et représente une fonction de x à carré sommable. Le but de cette note est de trouver une limite supérieure pour l'intégrale ∫_0^1[q(x)]^2dx, et de donner une démonstration du théoreme cité, en se servant d'une méthode des variables réelles...

Sur les fonctions de classe 1

Stefan Mazurkiewicz (1921)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de trouver la solution de problème suivant: Problème: Peut on représenter toute fonction de classe 1 par une différence des deux fonctions semi-continues supérieurement? et de démontrer le théorème general: Théorème: Prémisse: f(x) est une fonction bornée de classe 1 dans un intervalle I. Thèse: Pour tout nombre ϵ > 0 il existe deux fonctions G_1(x), G_2(x) semicontinues supérieurement dans I et telles que: |f(x)-[G_1(x)-G_2(x)]| ≤ ϵ x ⊂ I.

Un lemme métrique

Wacław Sierpiński (1923)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer le lemme: Lemme: Soit E un ensemble linéaire borné et soit ℱ une famille d'intervalles, telle que tout point x de E est une extrémité gauche d'un au moins intervalle δ(x) de famille ℱ. Thèse: ϵ étant un nombre positif donné quelconque, il existe toujours un nombre fini N=N(ϵ) d'intervalles δ(x_1), δ(x_2),...,δ(x_N) de la famille ℱ, n'empiétant pas les uns sur les autres et tels que la mesure extérieure (lebesguienne) de l'ensemble de ces points de...

Sur les séries de fonctions orthogonales

D. Menchoff (1923)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Si les fonctions φ_n(x), (n=1,2,3,...) forment un système normé de fonctions orthogonales dans l'intervalle (a,b), c'est-à-dire si ∫_a^b [φ_n(x)]^2 dx =1, ∫_a^b φ_m(x)·φ_n(x)dx =0, n ≠ m, si, de plus, les constantes réelles a_n sont telles que ∑_{n=1}^{∞} a_n^2 (lg n)^2 converge, la série ∑_{n=1}^{∞} a_n·φ_n(x) converge presque partout dans l'intervalle (a,b). Théorème: Quelle que soit la fonction positive W(n) vérifiant la condition W(n)...