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Sur l'ensemble de distances entre les points d'un ensemble

Wacław Sierpiński (1925)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de de prover que si E (ensemble donné de points situé dans l'espace à m dimension) est un ensemble mesurable (B), D(E) (ensemble de toutes les distances entre deux points quelconques de l'ensemble E) est mesurable (L), amis pas nécessairement mesurable (B).

Sur les distances des points dans les ensembles de mesure positive

Hugo Steinhaus (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant: Tout ensemble linéaire de mesure positive contient deux points distincts a et b de distance rationnelle et de donner quelques généralisations faciles du théorème.

Sur les fonctions d'ensemble additives et continues

Wacław Sierpiński (1922)

Fundamenta Mathematicae

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Soit E_0 un ensemble borné donné de points dans un espace à m dimensions, soit E un ensemble variable, contenu dans E_0 et mesurable (L). On appelle une fonction d'ensemble f(E) (dont la valeur f(E) est un nombre réel (fini) déterminé pour les sous - ensembles de E_0) additive (simplement) dans E_0, si sa valeur sur un ensemble somme de deux sous-ensembles mesurables de E_0 sans point commun est la somme de ses valeurs sur chacun de ces sous-ensembles. La fonction additive f(E) est dite...

Problèmes

Nicolas Lusin, Wacław Sierpiński, Paul Urysohn, Hugo Steinhaus, Stanisław Ruziewicz, Alfred Tajtelbaum-Tarski (1924)

Fundamenta Mathematicae

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Sur l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y)

Stefan Banach (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer que toute fonction mesurable f(x) satisfaisant à l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y) est continue (donc, d'après Cauchy, de la forme Ax).

Problèmes

Stefan Banach, Wacław Sierpiński, Paul Alexandroff, Paul Urysohn (1924)

Fundamenta Mathematicae

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