Soit ${\widehat{A}}^2$ l’algèbre sur l’axe réel introduite par A. Beurling. On se propose de déterminer les fonctions définies sur le plan complexe à valeurs complexes telles que la fonction composée $\phi \left(f\right)$ appartienne à ${\widehat{A}}^2$ pour chaque $f$ de ${\widehat{A}}^2$. On se propose de caractériser de telles fonctions pour des espaces voisins de ${\widehat{A}}^2$.

On détermine, pour tout groupe abélien localement compact “illimité” $G$, toutes les fonctions $f$, à valeurs complexes, définies sur l’ensemble : $$\{z=(z_k);1\le k\le n\mathrm{et}\mathrm{Re}{z}_k\ge 0\}$$ et telles que si les ${\psi }_k$, $1\le k\le n$, sont des fonctions définies négatives sur $G$ alors $f({\psi }_1,...,{\psi }_n)$ est aussi définie négative. On étudie aussi le cas où les $n$ variables sont toutes réelles et $G$ infini.

$\Lambda$ étant une suite de nombres complexes ${\lambda }_j$ $(0\<|{\lambda }_1|\le |{\lambda }_2|...)$, on désigne par ${ℰ}_I\left(\Lambda \right)$ (resp. ${ℰ}_K\left(\Lambda \right))$ l’ensemble des fonctions $f\left(x\right)$ (resp. $f\left(z\right)$) définies sur un segment $I$ (resp. sur un compact $K$ du plan complexe) et uniformément approchables sur $I$ (resp. sur $K$) par des combinaisons linéaires ${\sum }_1^N{a}_{j,N}{e}^{i{\lambda }_{j}x}\left(\mathrm{resp}.{\sum }_4^N{a}_{j,N}{e}^{i{\lambda }_{j}z}\right)$. On désigne par $ℰ\left(\Lambda \right)$ l’ensemble des fonctions continues) sur la droite dont les restrictions à tout segment $I$ appartiennent à ${ℰ}_I\left(\Lambda \right)$, par ${ℰ}_{\Omega }\left(P\right)$ l’ensemble des fonctions (holomorphes) sur un ouvert $\Omega$ du plan complexe...

Étant donné une fonction $w\left(x\right)\ge 0$ paire et continue, on se demande si une fonction entière $\phi \left(z\right)\not\equiv 0$ de type exponentiel $a$ existe telle que $\phi \left(x\right)\exp w\left(x\right)$ soit borné pour $-\infty \<x\<\infty$. L’existence d’une telle $\phi$ est équivalente à celle d’une fonction croissante $\rho \left(t\right)$ sur $[0,\infty )$ telle que $\rho \left(t\right)=\theta \left(t\right)$, que $\frac{\rho \left(t\right)}{t}\to \frac{a}{\pi }$ pour $t\to \infty$, et que $w\left(x\right)+{\infty }_0^{\infty }log|1-\frac{x^2}{t^2}|d\rho \left(t\right)\le C^{\mathrm{te}}$, $x\in \mathbf{R}$, pourvu que $w\left(x\right)$ satisfasse à une condition de régularité assez peu restrictive, décrite au début de l’article. On démontre que l’existence d’une telle $\rho$ est à son tour équivalente à ce que la fonction $\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\left|\Im z\right|}{|z-t{|}^2}w\left(t\right)dt-a\left|\Im z\right|$ admette Ce résultat...