In this paper we show that if $S$ is a convolution operator in ${\text{S}}^{\text{'}}$, and $S*{\text{S}}^{\text{'}}={\text{S}}^{\text{'}}$, then the zeros of the Fourier transform of $S$ are of bounded order. Then we discuss relations between the topologies of the space ${\text{O}}_c^{\text{'}}$ of convolution operators on ${\text{S}}^{\text{'}}$. Finally, we give sufficient conditions for convergence in the space of convolution operators in ${\text{S}}^{\text{'}}$ and in its dual.

Let $\tilde{f}$, $\tilde{g}$ be ultradistributions in ${𝒵}^{\text{'}}$ and let ${\tilde{f}}_n=\tilde{f}*{\delta }_n$ and ${\tilde{g}}_n=\tilde{g}*{\sigma }_n$ where $\left\{{\delta }_n\right\}$ is a sequence in $𝒵$ which converges to the Dirac-delta function $\delta$. Then the neutrix product $\tilde{f}\diamond \tilde{g}$ is defined on the space of ultradistributions ${𝒵}^{\text{'}}$ as the neutrix limit of the sequence $\left\{\frac{1}{2}({\tilde{f}}_n\tilde{g}+\tilde{f}{\tilde{g}}_n)\right\}$ provided the limit $\tilde{h}$ exist in the sense that $$\underset{n\to \infty }{\mathrm{N}\text{-}lim}\frac{1}{2}\langle {\tilde{f}}_n\tilde{g}+\tilde{f}{\tilde{g}}_n,\psi \rangle =\langle \tilde{h},\psi \rangle$$ for all $\psi$ in $𝒵$. We also prove that the neutrix convolution product $f♦*g$ exist in ${𝒟}^{\text{'}}$, if and only if the neutrix product $\tilde{f}\diamond \tilde{g}$ exist in ${𝒵}^{\text{'}}$ and the exchange formula $$F\left(f♦*g\right)=\tilde{f}\diamond \tilde{g}$$ is then satisfied.

Let ${ℇ}_{\left(\omega \right)}\left(\Omega \right)$ denote the non-quasianalytic class of Beurling type on an open set Ω in ${ℝ}^n$. For $\mu \in {ℇ}_{\left(\omega \right)}^{\text{'}}\left({ℝ}^n\right)$ the surjectivity of the convolution operator $T_{\mu }:{ℇ}_{\left(\omega \right)}\left({\Omega }_1\right)\to {ℇ}_{\left(\omega \right)}\left({\Omega }_2\right)$ is characterized by various conditions, e.g. in terms of a convexity property of the pair $({\Omega }_1,{\Omega }_2)$ and the existence of a fundamental solution for μ or equivalently by a slowly decreasing condition for the Fourier-Laplace transform of μ. Similar conditions characterize the surjectivity of a convolution operator $S_{\mu }:D_{\omega }^{\text{'}}\left({\Omega }_1\right)\to D_{\omega }^{\text{'}}\left({\Omega }_2\right)$ between ultradistributions of Roumieu type whenever...

À une famille $\Omega$ de fonctions positives $\omega$ sur un groupe $G$ abélien localement compact, on associe l’ensemble $A^2$ des fonctions qui sont de carré sommable sur $G$ par rapport à $dx/\omega \left(x\right)$ pour au moins un $\omega \in \Omega$. Sous certaines conditions simples, portant sur $\Omega$, c’est une algèbre de convolution, contenue dans $L^1\left(G\right)$. On étudie particulièrement le cas $G=$ droite réelle, $\Omega =$ ensemble des fonctions paires, sommables, décroissantes sur $]0,\infty [$. Une caractérisation explicite de $\tilde{A}$ (ensemble des transformées de Fourier des $f\in A$)...

Ce travail est l’étude de divers cas particuliers d’un problème nouveau, semble-t-il, concernant les translatées de fonctions ou de distributions sur un groupe. Soit $\mathbf{E}$ un espace vectoriel topologique de fonctions ou de distributions sur un groupe abélien $G$ localement compact ; $\mathbf{E}$ est supposé invariant par les translations $a\to f_a\left(x\right)=f(x+a)(f\in \mathbf{E},a\in G)$. Si $f\in \mathbf{E}$ et si $A$ est un sous-ensemble non vide de $G$, $\mathbf{I}(f,A)=\mathbf{I}(f,A,\mathbf{E})$ désigne le sous-espace vectoriel fermé de $\mathbf{E}$ engendré par les translatées $f_a$ de $f$ avec $a\in A$. On dira qu’une $f\in \mathbf{E}$ a ses...

We prove that if $\mathrm{grad}\left(f\right)\in L^p(R^n)$ for certain values of $p$, then $$\underset{x_1\to \infty }{lim}f(x_1,x_2,...,x_n)=\text{const.,}\text{a.e.}\text{in}{R}^{n-1}.$$