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Indépendance linéaire et algébrique de fonctions liées à la fonction q -dzeta

Jean-Paul Bézivin (2008)

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques

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Pour q ∈ ℂ , | q | < 1 , on définit la q -analogue de la fonction zeta de Riemann par les égalités ζ q ( k ) = ∑ n ≥ 1 σ k - 1 ( n ) q n = ∑ n ≥ 1 n k - 1 q n 1 - q n . Dans [8], W. Zudilin énonce deux questions à propos de ces fonctions de q . La première concerne l’indépendance linéaire sur ℂ ( q ) des fonctions ζ q ( k ) , pour k ≥ 1 , et la seconde l’indépendance algébrique sur ℂ ( q ) des fonctions ζ q ( 2 ) , ζ q ( 4 ) , ζ q ( 6 ) , et des fonctions ζ q ( 2 k + 1 ) , k ≥ 0 . Dans [5], Y. Pupyrev répond positivement à la première question, et donne des résultats partiels pour la seconde. Dans cet article, nous considérons...

Sur une équation de Langmuir généralisée

René Gosse (1949)

Annales de l'institut Fourier

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Cet article posthume extrait de notes ou brouillons par E. Cotton concerne, pour les équations de la forme y ' ' + y ' p ( x , y , y ' ) + q ( x ) d a ( y ) d y = f ( y ) , la solution définie par les conditions initiales x = x 0 , y = y 0 , y ' = 0 . Après avoir énoncé des hypothèses concernant les fonctions p , q , a , f , l’auteur montre que toute solution qui passe par un minimum pour x = x 0 , reste supérieure à ce minimum pour x > x 0 et que, dans ces mêmes conditions, | y | et | y ' | restent bornés. Enfin, lorsque p a une borne inférieure positive, y ' tend vers zéro avec...