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Crible et 3-rang des corps quadratiques

Karim Belabas (1996)

Annales de l'institut Fourier

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Considérons le cardinal h 3 * ( Δ ) de l’ensemble des racines cubiques de l’unité dans le groupe des classes de ℚ ( Δ ) , où Δ est un discriminant fondamental. Un résultat de Davenport et Heilbronn calcule la valeur moyenne de ces nombres quand Δ varie. On obtient ici géométriquement une borne explicite pour le reste, avec la possibilité supplémentaire de restreindre les Δ à des progressions arithmétiques. Des techniques de crible permettent alors d’évaluer la 3-partie des ℚ ( ± P k ) , où P k est pseudo-premier...

À la recherche de petites sommes d'exponentielles

Étienne Fouvry, Philippe Michel (2002)

Annales de l’institut Fourier

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Soit f ( x ) une fraction rationnelle à coefficients entiers, vérifiant des hypothèses assez générales. On prouve l’existence d’une infinité d’entiers n , ayant exactement deux facteurs premiers, tels que la somme d’exponentielles ∑ x = 1 n exp ( 2 π i f ( x ) / n ) soit en O ( n 1 2 - β f ) , où β f > 0 est une constante ne dépendant que de la géométrie de f . On donne aussi des résultats de répartition du type Sato-Tate, pour certaines sommes de Salié, modulo n , avec n entier comme ci- dessus.

Sommes des chiffres de multiples d'entiers

Cécile Dartyge, Gérald Tenenbaum (2005)

Annales de l'institut Fourier

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Soit q ∈ ℕ , q ≥ 2 . Pour n ∈ ℕ , on note s q ( n ) la somme des chiffres de n en base q . Nous donnons des majorations de sommes d’exponentielles de la forme G ( x , y , θ ; α , 𝐡 ) = ∑ x < n ≤ x + y exp ( 2 i π ( α 1 s q ( h 1 n ) + ⋯ + α r s q ( h r n ) + θ n ) ) , pour r ∈ ℕ * , 𝐡 ∈ ℕ * r et θ ∈ r . De telles sommes ont déjà été étudiées dans le cas r = 1 par Gelfond, et pour r ≥ 2 entre autre par Coquet et Solinas. Nos résultats étendent le domaine de validité en 𝐡 de ces précédents travaux pour r ≥ 2 , sont plus précis et ont l’avantage d’être uniformes en x et r et effectifs en 𝐡 . Ce contrôle soigneux des paramètres...