Sums of digits of multiples of integers

Cécile Dartyge[1]; Gérald Tenenbaum[1]

  • [1] Université Henri Poincaré Nancy 1, Institut Élie Cartan, BP 239, 54506 Vandcedex (France)

Annales de l'institut Fourier (2005)

  • Volume: 55, Issue: 7, page 2423-2474
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let q ∈ ℕ , q ≥ 2 . For n ∈ ℕ , denote by s q ( n ) the sum of digits of n in the q -ary digital expansion. We give upper bounds for exponential sums like G ( x , y , θ ; α , b f h ) = ∑ x < n ≤ x + y exp ( 2 i π ( α 1 s q ( h 1 n ) + ⋯ + α r s q ( h r n ) + θ n ) ) , with r ∈ ℕ * , 𝐡 ∈ ℕ * r and θ ∈ r . The case r = 1 has already been studied by Gelfond and the case r ≥ 2 by Coquet and Solinas. For r ≥ 2 , our results are more precises and significative for a wider range of 𝐡 . Furthermore they are uniform in x and θ and explicits in 𝐡 . The control of these parameters is crucial for various applications given in the paper. For example we prove that if k ∈ ℕ , k ≥ 2 , there exists infinitely many integers n with exactly k prime factors and such that s q ( n ) ≡ a m (for ( m , q - 1 ) = 1 ). We also obtain upper bounds of sums of the form ∑ n ≤ x exp ( 2 i π α s q ( h n ) ) f ( n ) where f is a multiplicative fonction of modulus less than 1 .

How to cite

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Dartyge, Cécile, and Tenenbaum, Gérald. "Sommes des chiffres de multiples d'entiers." Annales de l'institut Fourier 55.7 (2005): 2423-2474. <http://eudml.org/doc/116259>.

@article{Dartyge2005,
abstract = {Soit $q\in \mathbb \{N\}$, $q\ge 2$. Pour $n\in \mathbb \{N\}$, on note $s_q(n)$ la somme des chiffres de $n$ en base $q$. Nous donnons des majorations de sommes d’exponentielles de la forme\[G(x,y,\theta ;\alpha , \{\bf h\})= \sum \_\{x&lt;n\le x+y\}\exp (2i\pi (\alpha \_1s\_q(h\_1n)+\cdots +\alpha \_rs\_q(h\_r n)+\theta n)),\]pour $r\in \mathbb \{N\}^*$, $\{\bf h\}\in \mathbb \{N\}^\{*r\}$ et $\theta \in r$. De telles sommes ont déjà été étudiées dans le cas $r=1$ par Gelfond, et pour $r\ge 2$ entre autre par Coquet et Solinas. Nos résultats étendent le domaine de validité en $\bf h$ de ces précédents travaux pour $r\ge 2$, sont plus précis et ont l’avantage d’être uniformes en $x$ et $r$ et effectifs en $\bf h$. Ce contrôle soigneux des paramètres nous permet d’obtenir divers types d’applications. Nous montrons par exemple que pour $k\ge 2$ il existe une infinité d’entiers $n$ avec exactement $k$ facteurs premiers et vérifiant $s_q(n)\equiv am$ (pour $(m,q-1)=1$). Nous obtenons également des majorations de sommes de la forme $\sum _\{n\le x\}\exp (2i\pi \alpha s_q(hn))f(n)$ où $f$ est une fonction multiplicative de module au plus $1$.},
affiliation = {Université Henri Poincaré Nancy 1, Institut Élie Cartan, BP 239, 54506 Vandcedex (France); Université Henri Poincaré Nancy 1, Institut Élie Cartan, BP 239, 54506 Vandcedex (France)},
author = {Dartyge, Cécile, Tenenbaum, Gérald},
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keywords = {Sums of digits; arithmetic progression; multiplicatives functions},
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TY - JOUR
AU - Dartyge, Cécile
AU - Tenenbaum, Gérald
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JO - Annales de l'institut Fourier
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PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
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AB - Soit $q\in \mathbb {N}$, $q\ge 2$. Pour $n\in \mathbb {N}$, on note $s_q(n)$ la somme des chiffres de $n$ en base $q$. Nous donnons des majorations de sommes d’exponentielles de la forme\[G(x,y,\theta ;\alpha , {\bf h})= \sum _{x&lt;n\le x+y}\exp (2i\pi (\alpha _1s_q(h_1n)+\cdots +\alpha _rs_q(h_r n)+\theta n)),\]pour $r\in \mathbb {N}^*$, ${\bf h}\in \mathbb {N}^{*r}$ et $\theta \in r$. De telles sommes ont déjà été étudiées dans le cas $r=1$ par Gelfond, et pour $r\ge 2$ entre autre par Coquet et Solinas. Nos résultats étendent le domaine de validité en $\bf h$ de ces précédents travaux pour $r\ge 2$, sont plus précis et ont l’avantage d’être uniformes en $x$ et $r$ et effectifs en $\bf h$. Ce contrôle soigneux des paramètres nous permet d’obtenir divers types d’applications. Nous montrons par exemple que pour $k\ge 2$ il existe une infinité d’entiers $n$ avec exactement $k$ facteurs premiers et vérifiant $s_q(n)\equiv am$ (pour $(m,q-1)=1$). Nous obtenons également des majorations de sommes de la forme $\sum _{n\le x}\exp (2i\pi \alpha s_q(hn))f(n)$ où $f$ est une fonction multiplicative de module au plus $1$.
LA - fre
KW - Sums of digits; arithmetic progression; multiplicatives functions
UR - http://eudml.org/doc/116259
ER -

References

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  24. G. Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, 2 ème édition, Cours spécialisés, (1995), Société mathématique de France Zbl0880.11001MR1366197
  25. G. Tenenbaum, A rate estimate in Billingsley's theorem for the size distribution of large prime factors, Quart. J. Math. 51 (2000), 385-403 Zbl1004.11050MR1782101
  26. en collaboration avec J. Wu G. Tenenbaum, Exercices corrigés de théorie analytique et probabiliste des nombres, Cours spécialisés, (1996), Société mathématique de France Zbl0873.11002MR1397501

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