# Sums of digits of multiples of integers

• [1] Université Henri Poincaré Nancy 1, Institut Élie Cartan, BP 239, 54506 Vandcedex (France)
• Volume: 55, Issue: 7, page 2423-2474
• ISSN: 0373-0956

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## Abstract

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Let $q\in ℕ$, $q\ge 2$. For $n\in ℕ$, denote by ${s}_{q}\left(n\right)$ the sum of digits of $n$ in the $q$-ary digital expansion. We give upper bounds for exponential sums like$G\left(x,y,\theta ;\alpha ,bfh\right)=\sum _{x<n\le x+y}exp\left(2i\pi \left({\alpha }_{1}{s}_{q}\left({h}_{1}n\right)+\cdots +{\alpha }_{r}{s}_{q}\left({h}_{r}n\right)+\theta n\right)\right),$with $r\in {ℕ}^{*}$, $𝐡\in {ℕ}^{*r}$ and $\theta \in r$. The case $r=1$ has already been studied by Gelfond and the case $r\ge 2$ by Coquet and Solinas. For $r\ge 2$, our results are more precises and significative for a wider range of $𝐡$. Furthermore they are uniform in $x$ and $\theta$ and explicits in $𝐡$. The control of these parameters is crucial for various applications given in the paper. For example we prove that if $k\in ℕ$, $k\ge 2$, there exists infinitely many integers $n$ with exactly $k$ prime factors and such that ${s}_{q}\left(n\right)\equiv am$ (for $\left(m,q-1\right)=1$). We also obtain upper bounds of sums of the form ${\sum }_{n\le x}exp\left(2i\pi \alpha {s}_{q}\left(hn\right)\right)f\left(n\right)$ where $f$ is a multiplicative fonction of modulus less than $1$.

## How to cite

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Dartyge, Cécile, and Tenenbaum, Gérald. "Sommes des chiffres de multiples d'entiers." Annales de l'institut Fourier 55.7 (2005): 2423-2474. <http://eudml.org/doc/116259>.

@article{Dartyge2005,
abstract = {Soit $q\in \mathbb \{N\}$, $q\ge 2$. Pour $n\in \mathbb \{N\}$, on note $s_q(n)$ la somme des chiffres de $n$ en base $q$. Nous donnons des majorations de sommes d’exponentielles de la forme$G(x,y,\theta ;\alpha , \{\bf h\})= \sum \_\{x&lt;n\le x+y\}\exp (2i\pi (\alpha \_1s\_q(h\_1n)+\cdots +\alpha \_rs\_q(h\_r n)+\theta n)),$pour $r\in \mathbb \{N\}^*$, $\{\bf h\}\in \mathbb \{N\}^\{*r\}$ et $\theta \in r$. De telles sommes ont déjà été étudiées dans le cas $r=1$ par Gelfond, et pour $r\ge 2$ entre autre par Coquet et Solinas. Nos résultats étendent le domaine de validité en $\bf h$ de ces précédents travaux pour $r\ge 2$, sont plus précis et ont l’avantage d’être uniformes en $x$ et $r$ et effectifs en $\bf h$. Ce contrôle soigneux des paramètres nous permet d’obtenir divers types d’applications. Nous montrons par exemple que pour $k\ge 2$ il existe une infinité d’entiers $n$ avec exactement $k$ facteurs premiers et vérifiant $s_q(n)\equiv am$ (pour $(m,q-1)=1$). Nous obtenons également des majorations de sommes de la forme $\sum _\{n\le x\}\exp (2i\pi \alpha s_q(hn))f(n)$ où $f$ est une fonction multiplicative de module au plus $1$.},
affiliation = {Université Henri Poincaré Nancy 1, Institut Élie Cartan, BP 239, 54506 Vandcedex (France); Université Henri Poincaré Nancy 1, Institut Élie Cartan, BP 239, 54506 Vandcedex (France)},
author = {Dartyge, Cécile, Tenenbaum, Gérald},
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keywords = {Sums of digits; arithmetic progression; multiplicatives functions},
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TY - JOUR
AU - Dartyge, Cécile
AU - Tenenbaum, Gérald
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AB - Soit $q\in \mathbb {N}$, $q\ge 2$. Pour $n\in \mathbb {N}$, on note $s_q(n)$ la somme des chiffres de $n$ en base $q$. Nous donnons des majorations de sommes d’exponentielles de la forme$G(x,y,\theta ;\alpha , {\bf h})= \sum _{x&lt;n\le x+y}\exp (2i\pi (\alpha _1s_q(h_1n)+\cdots +\alpha _rs_q(h_r n)+\theta n)),$pour $r\in \mathbb {N}^*$, ${\bf h}\in \mathbb {N}^{*r}$ et $\theta \in r$. De telles sommes ont déjà été étudiées dans le cas $r=1$ par Gelfond, et pour $r\ge 2$ entre autre par Coquet et Solinas. Nos résultats étendent le domaine de validité en $\bf h$ de ces précédents travaux pour $r\ge 2$, sont plus précis et ont l’avantage d’être uniformes en $x$ et $r$ et effectifs en $\bf h$. Ce contrôle soigneux des paramètres nous permet d’obtenir divers types d’applications. Nous montrons par exemple que pour $k\ge 2$ il existe une infinité d’entiers $n$ avec exactement $k$ facteurs premiers et vérifiant $s_q(n)\equiv am$ (pour $(m,q-1)=1$). Nous obtenons également des majorations de sommes de la forme $\sum _{n\le x}\exp (2i\pi \alpha s_q(hn))f(n)$ où $f$ est une fonction multiplicative de module au plus $1$.
LA - fre
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UR - http://eudml.org/doc/116259
ER -

## References

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