Taking an odd increasing Lipschitz-continuous function with polynomial growth β, an odd Lipschitz-continuous and bounded function ϕ satisfying sgn(x)ϕ(x) ≥ 0 and a parameter a ∈ [1/2,1], we consider the (nonlinear) stochastic differential system ⎧$X_t=X₀+B_t+a{\int }_0^t\varphi *v_s\left(X_s\right)ds-(1-a){\int }_0^t\beta *u_s\left(X_s\right)ds$, (E)⎨ ⎩$Y_t=Y₀+B{̃}_t+(1-a){\int }_0^t\varphi *u_s\left(Y_s\right)ds-a{\int }_0^t\beta *v_s\left(Y_s\right)ds$, $\mathbb{P}\left(X_t\in dx\right)=u_t\left(dx\right)$ and $\mathbb{P}\left(Y_t\in dx\right)=v_t\left(dx\right)$, where $\beta *u_t\left(x\right)={\int }_{ℝ}\beta (x-y)u_t\left(dy\right)$, ${\left(B_t\right)}_{t\ge 0}$ and ${\left(B{̃}_t\right)}_{t\ge 0}$ are independent Brownian motions. We show that (E) admits a stationary probability measure, and, under some additional conditions, that $(X_t,Y_t)$ converges in distribution to this invariant measure. Moreover we...

Cet article posthume extrait de notes ou brouillons par E. Cotton concerne, pour les équations de la forme $$y^{\text{'}\text{'}}+y^{\text{'}}p(x,y,y^{\text{'}})+q(x)\frac{da\left(y\right)}{dy}=f\left(y\right),$$ la solution définie par les conditions initiales $x=x_0$, $y=y_0$, $y^{\text{'}}=0$. Après avoir énoncé des hypothèses concernant les fonctions $p,q,a,f$, l’auteur montre que toute solution qui passe par un minimum pour $x=x_0$, reste supérieure à ce minimum pour $x\>x_0$ et que, dans ces mêmes conditions, $\left|y\right|$ et $\left|y^{\text{'}}\right|$ restent bornés. Enfin, lorsque $p$ a une borne inférieure positive, $y^{\text{'}}$ tend vers zéro avec...

RésuméNous considérons les applications exponentielles pour les groupes $C^{\infty }(M,GL(N,ℂ))$ où M est une variété lisse compacte. Nous montrons que l’application $P:C^{\infty }(M,gl(N,ℂ))\to C^{\infty }(M,GL(N,ℂ))$ définie par $P\left(f\right)=Exp\left(f_1\right)·...·Exp\left(f_k\right)$ pour $f_i\in g_i$, $g=g_1\oplus ...\oplus g_k$ est (sous certaines conditions sur la décomposition de g) une bijection locale lisse (d’un voisinage de zéro sur un voisinage de l’unité). Nous montrons aussi que pour M = S¹ l’application Q définie par $Q\left(f\right)\left(t\right)={\prod }_{j=-\infty }^{\infty }Exp\left(A_j\left(f\right)e^{ijt}\right)$ est une bijection locale lisse. TABLE DES MATIÈRESIntroduction......................................................................................................................................................................5Chapitre...