We prove that the first reduced cohomology with values in a mixing $L^p$-representation, $1\<p\<\infty$, vanishes for a class of amenable groups including connected amenable Lie groups. In particular this solves for this class of amenable groups a conjecture of Gromov saying that every finitely generated amenable group has no first reduced ${\ell }^p$-cohomology. As a byproduct, we prove a conjecture by Pansu. Namely, the first reduced $L^p$-cohomology on homogeneous, closed at infinity, Riemannian manifolds vanishes. We also...

Nous présentons une méthode permettant d’établir le théorème limite central avec vitesse en $n^{-1/2}$ pour certains systèmes dynamiques. Elle est basée sur une propriété de décorrélation forte qui semble assez naturelle dans le cadre des systèmes quasi-hyperboliques. Nous prouvons que cette propriété est satisfaite par les exemples des flots diagonaux sur un quotient compact de $\mathrm{SL}(d,ℝ)$ et les « transformations » non uniformément hyperboliques du tore ${𝕋}^3$ étudiées par Shub et Wilkinson.

We construct an example of a Morse ℤ²-action which has rank one and whose centralizer contains elements which cannot be weakly approximated by the transformations of the action.