Mahler's measure of a polynomial in terms of the number of its monomials
Dans cet article nous donnons des minorations de la mesure de Mahler des polynômes totalement positifs et totalement réels. Ces résultats sont supérieurs à ceux obtenus par A. Schinzel, M. J. Bertin et V. Flammang.
Nous montrons que l’ensemble des racines modulo une puissance d’un nombre premier d’un polynôme à coefficients entiers de degré est une union d’au plus progressions arithmétiques de modules assez grands. Nous en déduisons une majoration du nombre de ses racines dans un intervalle réel court.
One considers representation of a polynomial in several variables as the sum of values of univariate polynomials taken at linear combinations of the variables.
We prove that for every ε > 0 and every nonnegative integer w there exist primes such that for the height of the cyclotomic polynomial is at least , where and is a constant depending only on w; furthermore . In our construction we can have for all i = 1,...,w and any function h: ℝ₊ → ℝ₊.