Groupes fondamentaux des variétés de dimension 3 et algèbres d’opérateurs

Pierre de la Harpe[1]; Jean-Philippe Préaux[2]

  • [1] Section de Mathématiques, Université de Genève, C.P. 64, CH-1211 Genève 4
  • [2] Centre de recherche de l’Armée de l’air, Ecole de l’Air, F-13661 Salon de Provence air. Centre de mathématiques et d’informatique, Université de Provence, 39 rue F. Joliot-Curie, F-13453 Marseille cedex 13

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques (2007)

  • Volume: 16, Issue: 3, page 561-589
  • ISSN: 0240-2963

Abstract

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We provide a geometric characterization of manifolds of dimension 3 with fundamental groups of which all conjugacy classes except { 1 } are infinite, namely of which the von Neumann algebras are factors of type I I 1 : they are essentially the 3 -manifolds with infinite fundamental groups on which there does not exist any Seifert fibration.Otherwise said and more precisely, let M be a compact connected 3 -manifold and let Γ be its fundamental group, supposed to be infinite and with at least one finite conjugacy class besides { 1 } . If M is orientable, then Γ is the fundamental group of a Seifert manifold; if M is not orientable, then Γ is the fundamental group of a Seifert manifold modulo ℙ in the sense of Heil and Whitten [HeWh-94].We make heavy use of results on 3 -manifolds, as well classical results (as can be found in the books of Hempel, Jaco, and Shalen), as more recent ones (solution of the Seifert fibred space conjecture)

How to cite

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de la Harpe, Pierre, and Préaux, Jean-Philippe. "Groupes fondamentaux des variétés de dimension $3$ et algèbres d’opérateurs." Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques 16.3 (2007): 561-589. <http://eudml.org/doc/10062>.

@article{delaHarpe2007,
abstract = {Nous proposons une caractérisation géométrique des variétés de dimension $3$ ayant des groupes fondamentaux dont toutes les classes de conjugaison autres que $\lbrace 1\rbrace $ sont infinies, c’est-à-dire dont les algèbres de von Neumann sont des facteurs de type $II_1$  : ce sont essentiellement les $3$-variétés à groupes fondamentaux infinis qui n’admettent pas de fibration de Seifert. Autrement dit et plus précisément, soient $M$ une $3$-variété connexe compacte et $\Gamma $ son groupe fondamental, qu’on suppose être infini et avec au moins une classe de conjugaison finie autre que $\lbrace 1\rbrace $. Si $M$ est orientable, alors $\Gamma $ est groupe fondamental d’une variété de Seifert  ; si $M$ est non orientable, alors $\Gamma $ est groupe fondamental d’une variété de Seifert modulo $\mathbb\{P\}$ au sens de Heil et Whitten [HeWh-94].Nous faisons un usage intensif de résultats concernant les $3$-variétés, autant classiques (comme on les trouve dans les livres de Hempel, Jaco et Shalen) que plus récents (solution de la conjecture des fibrés de Seifert).},
affiliation = {Section de Mathématiques, Université de Genève, C.P. 64, CH-1211 Genève 4; Centre de recherche de l’Armée de l’air, Ecole de l’Air, F-13661 Salon de Provence air. Centre de mathématiques et d’informatique, Université de Provence, 39 rue F. Joliot-Curie, F-13453 Marseille cedex 13},
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References

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