Penalizations of Walsh Brownian motion

Joseph Najnudel[1]

  • [1] Université Pierre et Marie Curie Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires 175, rue du Chevaleret 75013 Paris France

Annales de l’institut Fourier (2007)

  • Volume: 57, Issue: 4, page 1063-1093
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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In this paper, we penalize a Walsh Brownian motion ( A t ) t ≥ 0 (also called Brownian spider), which takes values in a finite set E of intersecting rays, with a weight equal to 1 Z t exp ( α N t X t + γ L t ) , where t is a positive real, ( α k ) k ∈ E a family of real numbers indexed by E , γ a real parameter, X t the distance from A t to the origin, N t ( ∈ E ) the ray on which A t is to be found, X t the local time of ( A s ) 0 ≤ s ≤ t at the origin, and Z t the normalization constant. We show that the family of probability measures obtained by these penalizations converges to a limit probability measure as t tends to infinity, and we study some properties of this limit probability measure.

How to cite

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Najnudel, Joseph. "Pénalisations de l’araignée brownienne." Annales de l’institut Fourier 57.4 (2007): 1063-1093. <http://eudml.org/doc/10251>.

@article{Najnudel2007,
abstract = {Dans cet article, nous pénalisons la loi d’une araignée brownienne $(A_t)_\{t \ge 0\}$ prenant ses valeurs dans un ensemble fini $E$ de demi-droites concourantes, avec un poids égal à $\frac\{1\}\{Z_t\} \exp (\alpha _\{N_t\} X_t + \gamma L_t)$, où $t$ est un réel positif, $(\alpha _k)_\{k \in E\}$ une famille de réels indexés par $E$, $\gamma $ un paramètre réel, $X_ t$ la distance de $A_t$ à l’origine, $N_t$ ($\in E$) la demi-droite sur laquelle se trouve $A_t$, $L_t$ le temps local de $(X_s)_\{0 \le s \le t\}$ à l’origine, et $Z_t$ la constante de normalisation. Nous montrons que la famille des mesures de probabilité obtenue par ces pénalisations converge vers une probabilité limite quand $t$ tend vers l’infini, et nous étudions quelques propriétés de cette probabilité limite.},
affiliation = {Université Pierre et Marie Curie Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires 175, rue du Chevaleret 75013 Paris France},
author = {Najnudel, Joseph},
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TY - JOUR
AU - Najnudel, Joseph
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JO - Annales de l’institut Fourier
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PB - Association des Annales de l’institut Fourier
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AB - Dans cet article, nous pénalisons la loi d’une araignée brownienne $(A_t)_{t \ge 0}$ prenant ses valeurs dans un ensemble fini $E$ de demi-droites concourantes, avec un poids égal à $\frac{1}{Z_t} \exp (\alpha _{N_t} X_t + \gamma L_t)$, où $t$ est un réel positif, $(\alpha _k)_{k \in E}$ une famille de réels indexés par $E$, $\gamma $ un paramètre réel, $X_ t$ la distance de $A_t$ à l’origine, $N_t$ ($\in E$) la demi-droite sur laquelle se trouve $A_t$, $L_t$ le temps local de $(X_s)_{0 \le s \le t}$ à l’origine, et $Z_t$ la constante de normalisation. Nous montrons que la famille des mesures de probabilité obtenue par ces pénalisations converge vers une probabilité limite quand $t$ tend vers l’infini, et nous étudions quelques propriétés de cette probabilité limite.
LA - fre
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ER -

References

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