Résultats d’existence dans des espaces critiques pour le système de la MHD inhomogène

Hammadi Abidi[1]; Taoufik Hmidi[2]

  • [1] IRMAR, Université de Rennes 1 Campus de Beaulieu 35042 Rennes cedex FRANCE
  • [2] Institut de Recherches Mathématiques de Rennes Université de Rennes 1 Campus de Beaulieu 263, avenue du Général Leclerc CS 74205 35042 Rennes Cedex FRANCE

Annales mathématiques Blaise Pascal (2007)

  • Volume: 14, Issue: 1, page 103-148
  • ISSN: 1259-1734

Abstract

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In this article, we show that the 3D MHD system with variable density and viscosity is locally well-posed in the Besov space B ˙ p 1 3 p ( ℝ 3 ) × B ˙ p 1 3 p - 1 ( ℝ 3 ) for 1 < p ≤ 3 and that the initial density approaches a positive constant. Moreover, we prove existence and uniqueness in the Sobolev space H 3 2 + α ( ℝ 3 ) × H 3 2 - 1 + α ( ℝ 3 ) for α > 0 , without smallness condition for the density.

How to cite

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Abidi, Hammadi, and Hmidi, Taoufik. "Résultats d’existence dans des espaces critiques pour le système de la MHD inhomogène." Annales mathématiques Blaise Pascal 14.1 (2007): 103-148. <http://eudml.org/doc/10536>.

@article{Abidi2007,
abstract = {Nous démontrons dans cet article que le système MHD tridimensionnel à densité et viscosité variables est localement bien posé lorsque $(\{\rho _0\}^\{-1\}-1,u_0,B_0)\in \dot\{B\}^\{\frac\{3\}\{p\}\}_\{p\,1\}(\{\mathbb\{R\}\}^3) \times \dot\{B\}^\{\frac\{3\}\{p\}-1\}_\{p\,1\}(\{\mathbb\{R\}\}^3) \times \dot\{B\}^\{\frac\{3\}\{p\}-1\}_\{p\,1\}(\{\mathbb\{R\}\}^3),$ pour $p\in ]1,3]$ et la densité initiale est proche d’une constante strictement positive. Nous démontrons également un résultat d’existence et d’unicité dans l’espace de Sobolev $H^\{\frac\{3\}\{2\}+\alpha \}(\{\mathbb\{R\}\}^3)\times H^\{\frac\{3\}\{2\}-1+\alpha \}(\{\mathbb\{R\}\}^3) \times H^\{\frac\{3\}\{2\}-1+\alpha \}(\{\mathbb\{R\}\}^3)$ pour $\alpha &gt;0,$ sans aucune condition de petitesse sur la densité.},
affiliation = {IRMAR, Université de Rennes 1 Campus de Beaulieu 35042 Rennes cedex FRANCE; Institut de Recherches Mathématiques de Rennes Université de Rennes 1 Campus de Beaulieu 263, avenue du Général Leclerc CS 74205 35042 Rennes Cedex FRANCE},
author = {Abidi, Hammadi, Hmidi, Taoufik},
journal = {Annales mathématiques Blaise Pascal},
keywords = {Existence; uniqueness; nonhomogeneous model of magnetohydrodynamics; MHD; inhomogeneous; critical Besov space},
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TY - JOUR
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AU - Hmidi, Taoufik
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PB - Annales mathématiques Blaise Pascal
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AB - Nous démontrons dans cet article que le système MHD tridimensionnel à densité et viscosité variables est localement bien posé lorsque $({\rho _0}^{-1}-1,u_0,B_0)\in \dot{B}^{\frac{3}{p}}_{p\,1}({\mathbb{R}}^3) \times \dot{B}^{\frac{3}{p}-1}_{p\,1}({\mathbb{R}}^3) \times \dot{B}^{\frac{3}{p}-1}_{p\,1}({\mathbb{R}}^3),$ pour $p\in ]1,3]$ et la densité initiale est proche d’une constante strictement positive. Nous démontrons également un résultat d’existence et d’unicité dans l’espace de Sobolev $H^{\frac{3}{2}+\alpha }({\mathbb{R}}^3)\times H^{\frac{3}{2}-1+\alpha }({\mathbb{R}}^3) \times H^{\frac{3}{2}-1+\alpha }({\mathbb{R}}^3)$ pour $\alpha &gt;0,$ sans aucune condition de petitesse sur la densité.
LA - fre
KW - Existence; uniqueness; nonhomogeneous model of magnetohydrodynamics; MHD; inhomogeneous; critical Besov space
UR - http://eudml.org/doc/10536
ER -

References

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  1. H. Abidi, Équation de Navier-Stokes avec densité et viscosité variables dans l’espace critique, A paraître au Rev. Mat. Iberoamericana 
  2. J.-M. Bony, Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires, Annales scientifiques de l’école Normale supérieure 14 (1981), 209-246 Zbl0495.35024MR631751
  3. J.-Y. Chemin, Fluides parfaits incompressibles, (1995), Astérisque, 230 Zbl0829.76003MR1340046
  4. J.-Y. Chemin, Théorèmes d’unicité pour le système de Navier-Stokes tridimensionnel, Journal d’analyse mathématique 77 (1999), 25-50 Zbl0938.35125MR1753481
  5. J.-Y. Chemin, N. Lerner, Flot de champs de vecteurs non-lipschitziens et équations de Navier-Stokes, J. Differential equations 121 (1995), 247-286 Zbl0878.35089MR1354312
  6. R. Danchin, The inviscid limit for density-dependent incompressible fluids, A paraître aux Annales de la Faculté de Sciences de Toulouse Zbl1221.35295
  7. R. Danchin, Global existence in critical spaces for compressible Navier-Stokes equations, Invent. Math 141 (2000), 579-614 Zbl0958.35100MR1779621
  8. R. Danchin, Local theory in critical spaces for compressible viscous and heat-conductive gases, Commun. Partial differential equations 26-27 (2001-2002), 1183-1233, 2531-2532 Zbl1007.35071MR1855277
  9. R. Danchin, Density-dependent incompressible viscous fluids in critical spaces, Proceedings of the royal society of Edinburgh 133A (2003), 1311-1334 Zbl1050.76013MR2027648
  10. B. Desjardins, C. Le Bris, Remarks on a nonhomogeneous model of magnetohydrodynamics, Differential and integral equations 11 (3) (1998), 377-394 Zbl1067.76097MR1745545
  11. G. Duvaut, J.-L. Lions, Inéquations en thermoélasticité et magnétohydrodynamique, Arch. Rat. Mech. Anal 46 (4) (1972), 241-279 Zbl0264.73027MR346289
  12. H. Fujita, T. Kato, On the Navier-Stokes initial value problem I, Archive for rational mechanics and analysis 16 (1964), 241-279 Zbl0126.42301MR166499
  13. J.-F. Gerbeau, C. Le Bris, Existence of solution for a density-dependant magnetohydrodynamic equation, Adv. Differential equations 2(3) (1997), 427-452 Zbl1023.35524MR1441851
  14. J. Peetre, New thoughts on Besov spaces, (1976), Duke University Mathematical Series 1, Durham N. C Zbl0356.46038MR461123
  15. T. Runst, W. Sickel, Sobolev spaces of fractional order, nemytskij operators, and nonlinear partial differential equations, (1996), De Gruyter series in nonlinear analysis and applications, 3. Walter de Wruyter and Co. Berlin Zbl0873.35001MR1419319
  16. M. Sermange, R. Temam, Some mathematical questions related to the MHD equations, Comm. Pure appl. Math XXXVI (1983), 635-664 Zbl0524.76099MR716200

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