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In this paper, we study the singular vortex patches in the two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations. We show, in particular, that if the initial vortex patch is C outside a singular set Σ, so the velocity is, for all time, lipschitzian outside the image of Σ through the viscous flow. In addition, the correponding lipschitzian norm is independent of the viscosity. This allows us to prove some results related to the inviscid limit for the geometric structures of the vortex patch.

Nous étudions la propagation de la régularité höldérienne dans une équation de transport-diffusion relative à un champ lipschitzien généralisant un résultat établi par R. Danchin [6] pour les espaces de Besov $B_{p,\infty }^s,$ avec $p$ fini et $s\in (-1,1)$. Comme application, nous montrons dans le cadre du système de Navier-Stokes 2-D que si le tourbillon initial est une poche dont le bord est de classe $C^{1+ϵ},$ alors son transporté par le flot visqueux préserve pour tout temps cette régularité. Nous prouvons également des résultats...

In this paper we prove the global well-posedness of the two-dimensional Boussinesq system with zero viscosity for rough initial data.

Given an orthogonal projection P and a free unitary Brownian motion $Y={\left(Yₜ\right)}_{t\ge 0}$ in a W*-non commutative probability space such that Y and P are *-free in Voiculescu’s sense, we study the spectral distribution νₜ of Jₜ = PYₜPYₜ*P in the compressed space. To this end, we focus on the spectral distribution μₜ of the unitary operator SYₜSYₜ*, S = 2P - 1, whose moments are related to those of Jₜ via a binomial-type expansion already obtained by Demni et al. [Indiana Univ. Math. J. 61 (2012)]. In this connection,...

Nous démontrons dans cet article que le système MHD tridimensionnel à densité et viscosité variables est localement bien posé lorsque $({{\rho }_0}^{-1}-1,u_0,B_0)\in {\dot{B}}_{p1}^{\frac{3}{p}}\left({ℝ}^3\right)\times {\dot{B}}_{p1}^{\frac{3}{p}-1}\left({ℝ}^3\right)\times {\dot{B}}_{p1}^{\frac{3}{p}-1}\left({ℝ}^3\right),$ pour $p\in ]1,3]$ et la densité initiale est proche d’une constante strictement positive. Nous démontrons également un résultat d’existence et d’unicité dans l’espace de Sobolev $H^{\frac{3}{2}+\alpha }\left({ℝ}^3\right)\times H^{\frac{3}{2}-1+\alpha }\left({ℝ}^3\right)\times H^{\frac{3}{2}-1+\alpha }\left({ℝ}^3\right)$ pour $\alpha \>0,$ sans aucune condition de petitesse sur la densité.

This paper deals with the global well-posedness of the $3$D axisymmetric Euler equations for initial data lying in critical Besov spaces $B_{p,1}^{1+\frac{3}{p}}$. In this case the BKM criterion is not known to be valid and to circumvent this difficulty we use a new decomposition of the vorticity .