On a conjecture of C. Berenstein - A. Yger

Michel Hickel[1]

  • [1] Université Bordeaux I, Laboratoire de Mathématiques Pures, 351 cours de la Libération, 33405 Talence Cedex (France)

Annales de l’institut Fourier (2001)

  • Volume: 51, Issue: 3, page 707-744
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
Let k be a commutative field and I = ( p 1 , ⋯ , p m ) k n [ X ] an ideal of the polynomial ring k [ X 1 , ⋯ , X n ] (possibly I = k n [ X ] ). We prove a conjecture of C. Berenstein - A. Yger asserting that for every p in the integral closure of the ideal I , one has a representation p m = ∑ 1 ≤ i ≤ m p i q i , with max deg ( q i p i ) ≤ m deg p + m d 1 ⋯ d m , where d i = deg p i , 1 ≤ i ≤ m .

How to cite

top

Hickel, Michel. "Solution d'une conjecture de C. Berenstein - A. Yger et invariants de contact à l'infini." Annales de l’institut Fourier 51.3 (2001): 707-744. <http://eudml.org/doc/115927>.

@article{Hickel2001,
abstract = {Soient $ k$ un corps commutatif et $I=(p_1, \dots ,p_m)k_n[X]$ un idéal de l’anneau des polynômes $ k[X_1, \dots ,X_n]$ (éventuellement $I=k_n[X]$). Nous prouvons une conjecture de C. Berenstein - A. Yger qui affirme que pour tout polynôme $p$, élément de la clôture intégrale $\bar\{I\}$ de l’idéal $I$, on a une représentation\[ p^m=\sum \_\{1\le i \le m\}p\_iq\_i, \quad \hbox\{avec\} \quad \max \deg (q\_ip\_i) \le m \deg p +md\_1\dots d\_m , \]où $d_i= \deg p_i\, ,\, \, \, 1\le i \le m$.},
affiliation = {Université Bordeaux I, Laboratoire de Mathématiques Pures, 351 cours de la Libération, 33405 Talence Cedex (France)},
author = {Hickel, Michel},
journal = {Annales de l’institut Fourier},
keywords = {effective Nullstellensatz; integral closure of ideals; global Łojasiewicz inequalities},
language = {fre},
number = {3},
pages = {707-744},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Solution d'une conjecture de C. Berenstein - A. Yger et invariants de contact à l'infini},
url = {http://eudml.org/doc/115927},
volume = {51},
year = {2001},
}

TY - JOUR
AU - Hickel, Michel
TI - Solution d'une conjecture de C. Berenstein - A. Yger et invariants de contact à l'infini
JO - Annales de l’institut Fourier
PY - 2001
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 51
IS - 3
SP - 707
EP - 744
AB - Soient $ k$ un corps commutatif et $I=(p_1, \dots ,p_m)k_n[X]$ un idéal de l’anneau des polynômes $ k[X_1, \dots ,X_n]$ (éventuellement $I=k_n[X]$). Nous prouvons une conjecture de C. Berenstein - A. Yger qui affirme que pour tout polynôme $p$, élément de la clôture intégrale $\bar{I}$ de l’idéal $I$, on a une représentation\[ p^m=\sum _{1\le i \le m}p_iq_i, \quad \hbox{avec} \quad \max \deg (q_ip_i) \le m \deg p +md_1\dots d_m , \]où $d_i= \deg p_i\, ,\, \, \, 1\le i \le m$.
LA - fre
KW - effective Nullstellensatz; integral closure of ideals; global Łojasiewicz inequalities
UR - http://eudml.org/doc/115927
ER -

References

top
  1. F. Amoroso, Tests d'appartenance d'après un théorème de J. Kollár, C.R. Acad. Sci. Paris, Série I, Math. 309 (1989), 691-694 Zbl0703.13003MR1054279
  2. F. Amoroso, Membership Problem, Approximation diophantienne et nombres Transcendants, Luminy 1990 (1992), 1-13, Walter de gruyter, Berlin Zbl0783.13015
  3. F. Amoroso, On a conjecture of C. Berenstein and A. Yger, vol. 143 (1996), Birkhäuser verlag Zbl0866.13008MR1414443
  4. J.M. Aroca, H. Hironaka, J.L. Vicente, The theory of the maximal contact, Memorias de Mathematica del Instituto ``Jorge Juan'', Madrid (1975) Zbl0366.32008MR444999
  5. J.M. Aroca, H. Hironaka, J.L. Vicente, Desingularization theorems, Memorias de Matematica del Instituto ``Jorge Juan'', Madrid (1977) Zbl0366.32009
  6. W.D. Brownawell, Bounds for the degrees in the Nullstellensatz, Ann. of Math 126 (1987), 577-591 Zbl0641.14001MR916719
  7. W.D. Brownawell, A prime product version of the Nullstellensatz, Michigan Math. Journal 45 (1998), 581-597 Zbl0964.14002MR1653279
  8. J. Briançon, H. Skoda, Sur la clôture intégrale d’un idéal de germes de fonctions holomorphes en un point de ℂ n , C.R. Acad. Sci. Paris, Série A, Math. 278 (1974), 949-951 Zbl0307.32007MR340642
  9. C.A. Berenstein, A. Yger, Bounds for the degrees in the division Problem, Michigan Math. J 37 (1990), 25-43 Zbl0702.32006MR1042512
  10. C.A. Berenstein, A. Yger, Formules de représentation intégrale et problèmes de division, Approximation diophantiennes et nombres transcendants Luminy 1990 (1992), 16-37, Walter de Gruyter, Berlin Zbl0765.32002
  11. C.A. Berenstein, A. Yger, Residue calculus and effective Nullstellensatz, American Journal of Mathematics 121 (1999), 723-796 Zbl0944.14002MR1704477
  12. E. Cygan, I. Krasinski, P. Tworzewski, Separation of algebraic sets and the Łojasiewicz exponent of polynomial mappings, Invent. Math 136 (1999), 75-87 Zbl0942.32003
  13. L. Ein, R. Lazarsfeld, A Geometric effective Nullstellensatz, Invent. Math 137 (1999), 427-448 Zbl0944.14003MR1705839
  14. W. Fulton, Intersection theory, 3 Folge, band (1984), Springer Verlag Zbl0541.14005MR732620
  15. G. Hermann, Die Frage der endlich vielen Schritter in der theorie polynomial ideale, Math. Ann 95 (1926), 736-788 MR1512302
  16. M. Hickel, Fontion de Artin et germes de courbes tracées sur un germe d'espace analytique, American Journal of Mathematics 115 (1993), 1299-1335 Zbl0804.32006MR1254735
  17. M. Hickel, Sur l'ubiquité d'un théorème de J. Briançon-H. Skoda, Effectivity problems algebraic and analytic methods, University of Calabria (Italie) (juin 1998), 22-28 
  18. M. Herman, S. Ikoda, U. Orbanz, Equimultiplicity and blowing up. An algebraic study with an appendice by B. Moonen, (1988), Springer-Verlag Zbl0649.13011MR954831
  19. H. Hironaka, Introduction to the theory of infinitely near singular points, Memorias de Mathematica del Instituto ``Jorge Juan'', Madrid (1974) Zbl0366.32007MR399505
  20. S. Ji, J. Kollár, B. Shiffman, A global Łojasiewicz inéquality for algebraic varieties, Transactions of the American Mathematical Society 129 (1992), 813-818 Zbl0762.14001
  21. J. Kollár, Sharp effective Nullstenellensatz, Journal of the American Mathematical Society 1 (1988), 963-975 Zbl0682.14001MR944576
  22. J. Kollár, Effective Nullstellensatz for arbitrary ideals, J. Eur. Math. Soc. 1 (1999), 313-337 Zbl0986.14043MR1714736
  23. J. Lipman, A. Sathaye, Jacobian ideals and a theorem of J. Briançon-H. Skoda, Michigan Math. J 28 (1981), 199-222 Zbl0438.13019MR616270
  24. J. Lipman, B. Teissier, Pseudo-Rational local rings and a theorem of Briançon-Skoda about integral closure of ideals, Michigan Math. J 28 (1981), 97-116 Zbl0464.13005MR600418
  25. M. Lejeune, B. Teissier, Clôture intégrale des idéaux et équisingularité, Séminaire Lejeune-Tessier, centre de Mathématiques école Polytechnique chapitre 1 (1974), Publication Université Scientifique et Médicale de Grenoble 
  26. H. Matsumura, Commutative ring theory, no 8 (1989), Cambridge University Press Zbl0666.13002MR1011461
  27. E. Mayr, A. Meyer, The complexity of the word problem for commutative semi-groups and polynomial ideals, Adv. in Math 46 (1982), 305-329 Zbl0506.03007MR683204
  28. D.G. Northcott, D. Rees, Reductions of Ideals in local rings, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 50 (1984), 145-158 Zbl0057.02601MR59889
  29. P. Philippon, Théorème des zéros effectifs d'après J. Kollár, Problèmes diophantiens 1987/88 no 88 (1988), Publication de l'Université de Paris VI 
  30. M. Raynaud, Contre exemple au "Vanishing theorem" en caractéristique positive, C.P. Ramanujan a tribute no 8, 273-278 Zbl0441.14006
  31. D. Rees, Lectures on the asymptotic theory of ideals, 113, Cambridge University Press Zbl0669.13001
  32. P. Samuel, Some asymptotic properties of ideals, Ann. of Math 56 (1952), 11-21 Zbl0049.02301MR49166
  33. B. Teissier, Variétés polaires I, Invariants polaires des singularités d'hypersurfaces, Invent. Math 40, 267-292 Zbl0446.32002MR470246
  34. B. Teissier, Variétés polaires II, Multiplicités polaires, sections planes et conditions de Whitney, proceedings La Rabida no 961 (1981), Springer-Verlag Zbl0585.14008
  35. B. Teissier, Résultats récents d'algèbre commutative effective, Séminaire Bourbaki 1989-90 no 178 (42ème année) Zbl0743.13017
  36. O. Zariski, P. Samuel, Commutative algebra, vol. 1 ; vol. 2 (1958 ; 1960), Van Nostrand, New York Zbl0081.26501

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.