The Heisenberg principle and positive functions

Jean Bourgain[1]; Laurent Clozel[2]; Jean-Pierre Kahane[2]

  • [1] School of Mathematics Institute for Advanced Study Princeton, N.J. 08540 (USA)
  • [2] Laboratoire de Mathématique Université Paris–Sud, Bât. 425 91405 Orsay Cedex (France)

Annales de l’institut Fourier (2010)

  • Volume: 60, Issue: 4, page 1215-1232
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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We consider a natural problem concerning Fourier transforms. In one variable, one seeks functions f and f ^ , both positive for ∣ x ∣ ≥ a and vanishing at 0 . What is the lowest bound for a ? In higher dimension, the same problem can be posed by replacing the interval by a ball of radius a . We show that there is indeed a strictly positive lower bound, which is estimated as a function of the dimension. In the last section the question, and its solution, are shown to be naturally related to the theory of zêta-functions.

How to cite

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Bourgain, Jean, Clozel, Laurent, and Kahane, Jean-Pierre. "Principe d’Heisenberg et fonctions positives." Annales de l’institut Fourier 60.4 (2010): 1215-1232. <http://eudml.org/doc/116301>.

@article{Bourgain2010,
abstract = {On décrit un problème naturel concernant la transformation de Fourier. Soient $f$, $\hat\{f\}$ deux fonctions associées par celle-ci, positives pour $\mid x\mid \ge a$ et nulles en zéro. Quelle est la borne inférieure pour $a$ ? En dimension supérieure, même question, l’intervalle étant remplacé par la boule de rayon $a$. On montre l’existence d’une borne inférieure strictement positive, qui est estimée en fonction de la dimension. La dernière section montre que cette question est naturellement liée à la théorie des fonctions zêta.},
affiliation = {School of Mathematics Institute for Advanced Study Princeton, N.J. 08540 (USA); Laboratoire de Mathématique Université Paris–Sud, Bât. 425 91405 Orsay Cedex (France); Laboratoire de Mathématique Université Paris–Sud, Bât. 425 91405 Orsay Cedex (France)},
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LA - fre
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UR - http://eudml.org/doc/116301
ER -

References

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  1. J. V. Armitage, Zeta Functions with a zero at s = 1 2 , Inv. Math. 15 (1972), 199-205 Zbl0233.12006MR291122
  2. E. Landau, Ueber die Klassenzahl imaginaer-quadratischer Zahlkoerper, Goettingen Nachr. (1918), 285-295 Zbl46.0258.04
  3. A. M. Odlyzko, Lower bounds for discriminants of number fields II, Tôhoku Math. J. 29 (1977), 209-216 Zbl0362.12005MR441918
  4. P. Roquette, On class fields towers, Algebraic Number Theory (1967), 231-249, Cassels et Fröhlich MR218331
  5. J.-P. Serre, Conducteurs d’Artin des caractères réels, Inv. Math. 14 (1971), 173-183 Zbl0229.13006MR321908
  6. J. Tate, Fourier Analysis in Number Fields and Hecke’s Zeta–Functions, Algebraic Number Theory (1967), 305-347, Cassels et Fröhlich MR217026

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