Constructions de polynômes génériques à groupe de Galois résoluble

Odile Lecacheux

Acta Arithmetica (1998)

  • Volume: 86, Issue: 3, page 207-216
  • ISSN: 0065-1036

Abstract

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On sait que les seuls sous-groupes résolubles transitifs du groupe symétrique ₅ sont isomorphes au groupe de Frobenius 20 , au groupe diédral D₅ et au groupe cyclique C₅. Nous montrerons comment construire des extensions de degré 5 à groupe de Galois résoluble à l’aide de courbes elliptiques. Dans un premier paragraphe nous utiliserons une courbe elliptique ayant un point de 5-torsion rationnel pour les groupes D₅ et C₅. Puis, dans le paragraphe suivant, nous utiliserons une courbe elliptique ayant un sous-groupe rationnel d’ordre 5 pour construire des extensions à groupe de Galois 20 . Reprenant alors un résultat de A. Brumer nous obtenons un polynôme générique pour 20 .

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Odile Lecacheux. "Constructions de polynômes génériques à groupe de Galois résoluble." Acta Arithmetica 86.3 (1998): 207-216. <http://eudml.org/doc/207190>.

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AB - On sait que les seuls sous-groupes résolubles transitifs du groupe symétrique ₅ sont isomorphes au groupe de Frobenius $_{20}$, au groupe diédral D₅ et au groupe cyclique C₅. Nous montrerons comment construire des extensions de degré 5 à groupe de Galois résoluble à l’aide de courbes elliptiques. Dans un premier paragraphe nous utiliserons une courbe elliptique ayant un point de 5-torsion rationnel pour les groupes D₅ et C₅. Puis, dans le paragraphe suivant, nous utiliserons une courbe elliptique ayant un sous-groupe rationnel d’ordre 5 pour construire des extensions à groupe de Galois $_{20}$. Reprenant alors un résultat de A. Brumer nous obtenons un polynôme générique pour $_{20}$.
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References

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  1. [1] A. A. Bruen, C. Jensen and N. Yui, Polynomials with Frobenius groups of prime degree as Galois groups II, J. Number Theory 24 (1986), 305-359. Zbl0598.12009
  2. [2] A. Brumer, preprint. 
  3. [3] D. S. Dummit, Solving solvable quintics, Math. Comput. 57 (1991), 387-401. Zbl0729.12008
  4. [4] D. Kubert, Universal bounds on the torsion of elliptic curves, Proc. London Math. Soc. 33 (1976), 193-237. Zbl0331.14010
  5. [5] S. Kwon et J. Martinet, Sur les corps résolubles de degré premier, J. Reine Angew. Math. 375-376 (1987), 12-23. Zbl0601.12013
  6. [6] O. Lecacheux, Unités d'une famille de corps liés à la courbe X₁(25), Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 40 (1990), 237-253. 
  7. [7] E. Lehmer, Connection between Gaussian periods and cyclic units, Math. Comput. 50 (1988), 535-541. Zbl0652.12004
  8. [8] R. Schoof and L. Washington, Quintic polynomials and real cyclotomic fields with large class numbers, Math. Comput., 543-556. Zbl0649.12007
  9. [9] G. W. Smith, Some polynomials over ℚ (t) and their Galois groups, Ph.D. thesis, University of Toledo, 1993. 
  10. [10] G. W. Smith, Generic cyclic polynomials of odd order, Comm. Algebra 19 (1991), 3367-3391. Zbl0747.12003

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