Constructions de polynômes génériques à groupe de Galois résoluble

Odile Lecacheux

Acta Arithmetica (1998)

  • Volume: 86, Issue: 3, page 207-216
  • ISSN: 0065-1036

Abstract

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On sait que les seuls sous-groupes résolubles transitifs du groupe symétrique ₅ sont isomorphes au groupe de Frobenius 20 , au groupe diédral D₅ et au groupe cyclique C₅. Nous montrerons comment construire des extensions de degré 5 à groupe de Galois résoluble à l’aide de courbes elliptiques. Dans un premier paragraphe nous utiliserons une courbe elliptique ayant un point de 5-torsion rationnel pour les groupes D₅ et C₅. Puis, dans le paragraphe suivant, nous utiliserons une courbe elliptique ayant un sous-groupe rationnel d’ordre 5 pour construire des extensions à groupe de Galois 20 . Reprenant alors un résultat de A. Brumer nous obtenons un polynôme générique pour 20 .

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Odile Lecacheux. "Constructions de polynômes génériques à groupe de Galois résoluble." Acta Arithmetica 86.3 (1998): 207-216. <http://eudml.org/doc/207190>.

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AB - On sait que les seuls sous-groupes résolubles transitifs du groupe symétrique ₅ sont isomorphes au groupe de Frobenius $_{20}$, au groupe diédral D₅ et au groupe cyclique C₅. Nous montrerons comment construire des extensions de degré 5 à groupe de Galois résoluble à l’aide de courbes elliptiques. Dans un premier paragraphe nous utiliserons une courbe elliptique ayant un point de 5-torsion rationnel pour les groupes D₅ et C₅. Puis, dans le paragraphe suivant, nous utiliserons une courbe elliptique ayant un sous-groupe rationnel d’ordre 5 pour construire des extensions à groupe de Galois $_{20}$. Reprenant alors un résultat de A. Brumer nous obtenons un polynôme générique pour $_{20}$.
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References

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