Sur le problème de la mesure

Banach, Stefan. "Sur le problème de la mesure." Fundamenta Mathematicae 4.1 (1923): 7-33. <http://eudml.org/doc/213620>.

@article{Banach1923,
abstract = {Dans ce travail l'auteur s'occupe du problème de la mesure et des trois problèmes connexes suivants: Problème: Dans son livre "Leçons sur l'intégration" (Paris 1905) Monsieur Lebesgue énonce les propriétés de son intégrale: 1. Quels que soient a, b, h, on a ∫\_\{a\}^\{b\}f(x)dx = ∫\_\{a+h\}^\{b+h\}f(x-h)dx 2. Quels que soient a, b, c, on a ∫\_\{a\}^\{b\}f(x)dx + ∫\_\{b\}^\{c\}f(x)dx +∫\_\{c\}^\{a\}f(x)dx = 0 3. ∫\_\{a\}^\{b\}[f(x)+φ(x)]dx = ∫\_\{a\}^\{b\}f(x)dx +∫\_\{a\}^\{b\}φ(x)dx 4. Si l'on a f ≤ 0 et b>a, on a aussi ∫\_\{a\}^\{b\}f(x)dx ≥ 0. 5. On a ∫\_\{0\}^\{1\}adx = 1. 6. Si f\_\{n\}(x) tend en croissant vers f(x), l'intégrale de f\_\{n\}(x) tend vers celle de f(x). En même temps Monsieur Lebesgue pose le problème si la propriété (6) est indépendante de cinq autres. Problème: Dans son livre "Grundzüge der Mengenlehre" (Leipzig 1914) Monsieur Hausdorff s'occupe du problème suivant: Peut-on attacher à chaque ensemble borné E d'un espace à m dimensions un nombre m(E) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. m(E) ≥ 0, 2. m(E\_0) =1 pour un ensemble E\_0 de l'espace considéré, 3. m(E\_1+E\_2) = m(E\_1) + m(E\_2), si E\_1E\_2=0, 4. m(E\_1) = m(E\_2) si les ensembles E\_1 et E\_2 sont superposables. Il prouve que ce problème est impossible pour l'espace à trois ou plus dimensions. Dans cette note on s'occupe du problème analogue pour l'espace à une ou deux dimensions. Problème: Monsieur Ruziewicz a posé le problème suivant: Existe-il une opérion f(X) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. f(X) est définie pour tout ensemble mesurable (L) d'un espace à n dimensions, 2. f(X) ≥ 0, 3. f(X\_0) = 1 pour un certain ensemble X\_0 tel que m(X\_0) = 1, 4. f(X+Y) = f(X) + f(Y) pour X · Y=0, 5. f(X) = f(Y) si X ≅ Y, 6. f(X\_1) ≠ m(X\_1) pour un certain ensemble X\_1 mesurable (L).},
author = {Banach, Stefan},
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keywords = {własności całki Lebesgue'a; zbiory nakładalne; teoria miary; miara Lebesgue'a; całka Lebesgue'a; zbiór mierzalny; funkcja ograniczona},
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TY - JOUR
AU - Banach, Stefan
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JO - Fundamenta Mathematicae
PY - 1923
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EP - 33
AB - Dans ce travail l'auteur s'occupe du problème de la mesure et des trois problèmes connexes suivants: Problème: Dans son livre "Leçons sur l'intégration" (Paris 1905) Monsieur Lebesgue énonce les propriétés de son intégrale: 1. Quels que soient a, b, h, on a ∫_{a}^{b}f(x)dx = ∫_{a+h}^{b+h}f(x-h)dx 2. Quels que soient a, b, c, on a ∫_{a}^{b}f(x)dx + ∫_{b}^{c}f(x)dx +∫_{c}^{a}f(x)dx = 0 3. ∫_{a}^{b}[f(x)+φ(x)]dx = ∫_{a}^{b}f(x)dx +∫_{a}^{b}φ(x)dx 4. Si l'on a f ≤ 0 et b>a, on a aussi ∫_{a}^{b}f(x)dx ≥ 0. 5. On a ∫_{0}^{1}adx = 1. 6. Si f_{n}(x) tend en croissant vers f(x), l'intégrale de f_{n}(x) tend vers celle de f(x). En même temps Monsieur Lebesgue pose le problème si la propriété (6) est indépendante de cinq autres. Problème: Dans son livre "Grundzüge der Mengenlehre" (Leipzig 1914) Monsieur Hausdorff s'occupe du problème suivant: Peut-on attacher à chaque ensemble borné E d'un espace à m dimensions un nombre m(E) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. m(E) ≥ 0, 2. m(E_0) =1 pour un ensemble E_0 de l'espace considéré, 3. m(E_1+E_2) = m(E_1) + m(E_2), si E_1E_2=0, 4. m(E_1) = m(E_2) si les ensembles E_1 et E_2 sont superposables. Il prouve que ce problème est impossible pour l'espace à trois ou plus dimensions. Dans cette note on s'occupe du problème analogue pour l'espace à une ou deux dimensions. Problème: Monsieur Ruziewicz a posé le problème suivant: Existe-il une opérion f(X) satisfaisant aux conditions suivantes: 1. f(X) est définie pour tout ensemble mesurable (L) d'un espace à n dimensions, 2. f(X) ≥ 0, 3. f(X_0) = 1 pour un certain ensemble X_0 tel que m(X_0) = 1, 4. f(X+Y) = f(X) + f(Y) pour X · Y=0, 5. f(X) = f(Y) si X ≅ Y, 6. f(X_1) ≠ m(X_1) pour un certain ensemble X_1 mesurable (L).
LA - fre
KW - własności całki Lebesgue'a; zbiory nakładalne; teoria miary; miara Lebesgue'a; całka Lebesgue'a; zbiór mierzalny; funkcja ograniczona
UR - http://eudml.org/doc/213620
ER -