Teoria liczb

Sierpiński, Wacław

  • Publisher: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk(Warszawa - Wrocław), 1950

Abstract

top
SPIS RZECZYPRZEDMOWA............. IIIERRATA.................... VIROZDZIAŁ I. PODZIELNOŚĆ LICZB I ROZKŁAD NA CZYNNIKI PIERWSZE§ 1. Podzielność jednej liczby przez drugą........................... 1§ 2. Wspólne dzielniki dwu liczb....................... 2§ 3. Największy wspólny dzielnik...................... 2§ 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność................ 3§ 5. Własność największego wspólnego dzielnika.......... 4§ 6. Zależność między największym wspólnym dzielnikiem a najmniejszą wspólną wielokrotnością dwu liczb.............. 4§ 7. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki.......................... 5§ 8. Liczby pierwsze i ich ważniejsze własności. Liczby złożone i ich rozkład na czynniki pierwsze............. 8§ 9. Dowód, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele................. 14ROZDZIAŁ II. RÓWNANIA NIEOZNACZONE PIERWSZEGO STOPNIA§ 1. Forma liniowa dla największego wspólnego dzielnika.................... 27§ 2. Warunek na to, by dwie liczby były względnie pierwsze................. 29§ 3. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika za pomocą algorytmu Euklidesa.................... 29§ 4. Rozwijanie liczby na ułamek łańcuchowy............................... 33§ 5. Równania nieoznaczone 1-go stopnia o 2 niewiadomych................... 35§ 6. Równania nieoznaczone 1-go stopnia o n niewiadomych................... 37§ 7. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności n liczb.................. 39ROZDZIAŁ III. ZASADNICZE WŁASNOŚCI KONGRUENCJI. KONGRUENCJE 1-go STOPNIA O MODULE PIERWSZYM§ 1. Kongruencje i ich ważniejsze własności............................ 41§ 2. Zastosowanie kongruencji do otrzymania cech podzielności przez 9, 11, 7, 13, 27 i 37................. 46§ 3. Pierwiastki kongruencji. Reszty według danego modułu..................... 49§ 4. Związek między kongruencjami a pewną klasą równań nieoznaczonych. Kongruencje tożsamościowe i kongruencje sprzeczne................ 50§ 5. Kongruencje 1-go stopnia o module pierwszym.................... 51ROZDZIAŁ IV. TWIERDZENIA WILSONA, EULERA I FERMATA. TWIERDZENIA O ROZKŁADACH NA SUMĘ KWADRATÓW§ 1. Reszty i niereszty kwadratowe. Dowód twierdzeń Wilsona, Eulera i małego twierdzenia Fermata. Symbol Legendre’a.............. 53§ 2. Reszty bezwzględnie najmniejsze. Symbol Legendre’a (D/P) jako reszta bezwzględnie najmniejsza liczby D ( p - 1 ) / 2 według modułu p........63§ 3. Reszty kwadratowe dla modułu pierwszego. Ich wyznaczanie i liczba......................... 68§ 4. Dowód twierdzenia Fermata o rozkładzie liczb pierwszych formy 4k+1 na sumę dwu kwadratów............... 71§ 5. Ilość liczb pierwszych formy 4k+1, 4k+3, 3k+2 i 8k+1........................ 76§ 6. Twierdzenie Lejeune-Dirichleta................................ 79§ 7. Warunki rozkładalności na sumę dwu kwadratów.................. 80§ 8. Wyznaczanie rozkładów na sumę dwu kwadratów i średnia ich ilość................. 83§ 9. Rozkłady liczb naturalnych na sumę trzech kwadratów............................ 90§ 10. Rozkłady liczb naturalnych na sumę czterech kwadratów. Twierdzenie Lagrange’a..............93§ 11. Twierdzenie Waringa............................... 102ROZDZIAŁ V. LICZBA I SUMA DZIELNIKÓW, LICZBY DOSKONAŁE, WZORY SUMACYJNE§ 1, Liczba dzielników liczby naturalnej........................ 112§ 2. Suma dzielników liczby naturalnej............................ 113§ 3. Liczby doskonałe. Metoda Euklidesa. Wyznaczanie pierwszych dziesięciu liczb doskonałych parzystych................. 116§ 4. Liczby doskonałe drugiego rodzaju.............................. 123§ 5. Liczby zaprzyjaźnione................................. 125§ 6. Wzory sumacyjne dla liczby dzielników liczby naturalnej.............. 126§ 7. Wzory sumacyjne dla sumy dzielników liczby naturalnej................ 132§ 8. Tożsamość Hermite’a dla funkcji E(x)....................... 134ROZDZIAŁ VI. FUNKCJA MOBIUSA, FUNKCJA GAUSSA, ZALEŻNOŚĆ F ( n ) = d | n f ( d ) I JEJ ODWRÓCENIE§ 1. Funkcja Möbiusa i jej własności........................... 136§ 2. Liczba niewiększych od x liczb pierwszych względem liczb pierwszych p 1 , p 2 , . . . , p m ............. 138§ 3. Funkcja Gaussa φ(n)...................... 140§ 4. Własności funkcji Gaussa i jej zastosowania.................... 143§ 5. Wzory sumacyjne dla funkcji Gaussa i Möbiusa...................... 148§ 6. Odwrócenie wzoru F ( n ) = d | n f ( d ) ............................... 150§ 7. Funkcja Liouville’a.................................. 154OZDZIAŁ VII. GĘSTOŚĆ ROZMIESZCZENIA LICZB PIERWSZYCH W CIĄGU LICZB NATURALNYCH§ 1. Iloczyn ∏(1-1/p) rozciągnięty na kolejne liczby pierwsze................. 156§ 2. Dowód wzoru l i m x = π ( x ) / x = 0 .............................. 160§ 3. Ograniczoność stosunku π(x):(x/log x)......................... 161ROZDZIAŁ VIII. TWIERDZENIE EULERA, TWIERDZENIE LAGRANGE’A, PIERWIASTKI PIERWOTNE I WSKAŹNIKI§ 1. Dowód twierdzenia Eulera................ 168§ 2. Wnioski z twierdzenia Eulera............ 172§ 3. Warunek konieczny istnienia pierwiastków pierwotnych liczby m.................. 175§ 4. Twierdzenie Lagrange’a i wnioski z niego.............................. 177§ 5. Dowód istnienia pierwiastków pierwotnych liczb pierwszych............... 183§ 6. Pierwiastki pierwotne dla modułów p α i 2 p α ........................ 187§ 7. Liczba pierwiastków pierwotnych według jakiegokolwiek modułu............ 191§ 8. Moduł 2 α dla α≥3. Własność liczby 5.......................... 193§ 9. Własności wskaźników................................. 196§ 10. Zastosowanie wskaźników. Własności charakterystyczne symbolu Legendre’a.............. 198§ 11. Zastosowania wskaźników do rozwiązywania kongruencji.......................... 201ROZDZIAŁ IX. ROZWINIĘCIA SYSTEMATYCZNE PRZY DOWOLNEJ ZASADZIE NUMERACJI§ 1. Rozwinięcia liczb całkowitych przy danej zasadzie....................... 205§ 2. Ułamki nieskończone przy zasadzie g. Wzór na n-tą cyfrę................. 210§ 3. Algorytm dla wyznaczania rozwinięcia normalnego......................... 213§ 4. Warunek konieczny i wystarczający rozwijalności na ułamek skończony..... 214§ 5. Rozwinięcia liczb wymiernych; ich okresowość............................ 216§ 6. Ciągi okresowe. Okres zasadniczy..................... 217§ 7. Liczba cyfr nieregularnych i liczba cyfr okresu zasadniczego..............219§ 8. Wyznaczanie liczby rodnej............ 224§ 9. Ułamki przy zmiennej zasadzie numeracji................. 226ROZDZIAŁ X. RÓWNANIE PITAGORASA I JEGO UOGÓLNLENIA§ 1. Równanie x 2 + y 2 = z 2 w liczbach całkowitych.............229§ 2. Rozwiązania naturalne o dwu liczbach kolejnych............... 233§ 3. Uogólnienia równania Pitagorasa...................... 237§ 4. Równanie Fermata............. 242ROZDZIAŁ XI. RÓWNANIE PELLA§ 1. Dowód istnienia rozwiązań równania Pella............... 251§ 2. Wyznaczanie wszystkich rozwiązań równania Pella........ 254§ 3. Zastosowanie równania Pella........................ 259ROZDZIAŁ XII. UŁAMKI ŁAŃCUCHOWE§ 1. Ułamki łańcuchowe i ich redukty............. 262§ 2. Liczby Δk. Wzór Δ k = ( - 1 ) k ................... 266§ 3. Ułamki łańcuchowe arytmetyczne. Rozwijanie liczb wymiernych na ułamki łańcuchowe............. 267§ 4. Zastosowanie ułamków łańcuchowych do rozwiązywania równań nieoznaczonych 1-go stopnia........ 269§ 5. Rozwijanie liczb niewymiernych na ułamki łańcuchowe nieskończone............................. 270§ 6. Prawo najlepszego przybliżenia.................................... 272§ 7. Jednoznaczność rozwinięcia liczby niewymiernej na ułamek łańcuchowy arytmetyczny............. 274§ 8. Rozwinięcie liczby √D na ułamek łańcuchowy............................... 278§ 9. Twierdzenie Lagrange’a o ułamkach łańcuchowych........................... 290§ 10. Rozwinięcie liczb e i π na ułamki łańcuchowe............................ 297§ 11. Zastosowanie rozwinięcia √D na ułamek łańcuchowy do równania Pella....... 298ROZDZIAŁ XIII. TEORIA KONGRUENCJI PIERWSZEGO I DRUGIEGO STOPNIA§ 1. Kongruencje pierwszego stopnia o dowolnym module..................... 305§ 2. Rozwiązywanie układu kongruencyj pierwszego stopnia o jednej niewiadomej..... 308§ 3. Kongruencje drugiego stopnia; sprowadzanie ich do kongruencji pierwszego stopnia i kongruencji dwumiennej........ 310§ 4. Liczba pierwiastków kongruencji, której moduł jest iloczynem dwu czynników względnie pierwszych............ 312§ 5. Rozwiązywąnie kongruencji dwumiennych drugiego stopnia..................... 314ROZDZIAŁ XIV. TEORIA SYMBOLU LEGENDRE’A I SYMBOLU JACOBIEGO§ 1. Lemat Gaussa...............323§ 2. Wartość symbolu (2/p)....... 325§ 3. Prawo wzajemności liczb pierwszych.............. 326§ 4. Obliczanie wartości symbolu Legendre’a na podstawie jego zasadniczych własności............ 331§ 5. Symbol Jacobiego i jego zasadnicze własności........................335§ 6. Prawidło Eisensteina................................ 341§ 7. Dowód istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych w postępach arytmetycznych 5k-1, 8k-1 i 12k-1............. 346ROZDZIAŁ XV. ZARYS TEORII FORM KWADRATOWYCH§ 1. Formy kwadratowe dwójkowe jednorodne i ich wyróżnik. Zagadnienie podstawowe teorii form kwadratowych............ 351§ 2. Równoważność właściwa i niewłaściwa dwu form kwadratowych. Klasy form kwadratowych.................. 353§ 3. Grupy przedstawień liczby m przez formę (a,b,c)...... 357§ 4. Wyznaczanie wszystkich przedstawień należących do danej grupy.................... 359§ 5. Kryterium równoważności dwu form kwadratowych. Formy zredukowane dla D>0................. 363§ 6. Formy dodatnie i formy zredukowane dla D<0. Przypadek D=-4................... 367§ 7. Badanie równoważności właściwej dwu form zredukowanych o wyróżniku D<0...................... 370§ 8. Badanie równoważności właściwej dwu niewymierności 2-go stopnia....................... 372ROZDZIAŁ XVI. TEORIA LICZB CAŁKOWTTYCH ZESPOLONYCH§ 1. Liczby całkowite zespolone i ich norma. Liczby stowarzyszone......................... 379§ 2. Algorytm kolejnych dzieleń i największy wspólny dzielnik liczb całkowitych zespolonych.............. 383§ 3. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb całkowitych zespolonych................... 388§ 4. Liczby zespolone pierwsze........................ 389§ 5. Rozkład liczb całkowitych zespolonych na czynniki pierwsze....................... 394§ 6. Ilość liczb całkowitych zespolonych o danej normie...................... 396§ 7. Twierdzenie Jacobiego o rozkładach na sumę czterech kwadratów........... 401ROZDZIAŁ XVII. WSTĘP DO TEORII CIAŁ LICZBOWYCH§ 1. Ciało liczbowe. Najprostsze ciało liczbowe, zawierające μ....................... 416§ 2. Ciało liczbowe drugiego stopnia; sprowadzenie go do postaci K(√D)............... 417§ 5. Forma ogólna liczb ciała K(√D). Liczby sprzężone. Norma......................... 419§ 4. Liczby całkowite ciała K(√D).................................................... 421§ 5. Twierdzenie o sumie, różnicy i iloczynie liczb całkowitych...................... 430§ 6. Podzielność liczb całkowitych. Dzielniki jedności............................... 431§ 7. Wyznaczanie wszystkich dzielników jedności...................................... 431§ 8. Liczby nierozkładalne. Przykład niejednoznaczności rozkładu na czynniki nierozkładalne............. 435§ 9. Dowód wielkiego twierdzenia Fermata dla n = 3............................. 438ROZDZIAŁ XVIII. WSTĘP DO TEORII IDEAŁÓW§ 1. Ideały w ciele K(√D). Forma kanoniczna ideałów...................... 443§ 2. Ideały główne. Ideały jako uogólnienie liczb całkowitych............ 446§ 3. Iloczyn ideałów..................................... 449§ 4. Dowód, że norma ideału jest ideałem głównym....................... 450§ 5. Dzielenie ideałów. Ideały względnie pierwsze....................... 454§ 6. Ideały pierwsze.................................... 458§ 7. Rozkład ideału na czynniki pierwsze.................... 459§ 8. Ideały pierwsze 1-go i 2-go stopnia. Rozkład na czynniki pierwsze ideałów głównych, utworzonych przez liczby pierwsze........ 461ROZDZIAŁ XIX. WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA DLA WYKŁADNIKÓW 5 i 7§ 1. Ciała liczbowe, w których każdy ideał jest główny........................ 463§ 2. Twierdzenie Fermata dla potęgi n = 5.................................. 464§ 3. Twierdzenie Fermata dla potęgi n = 7............................. 478ĆWICZENIA DO RÓŻNYCH ROZDZIAŁÓW...................... 489PRZYPISY............................... 525SKOROWIDZ NAZW.................. 532SKOROWIDZ ZNAKÓW................ 535SKOROWIDZ NAZWISK................ 536

How to cite

top

Sierpiński, Wacław. Teoria liczb. Warszawa - Wrocław: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk, 1950. <http://eudml.org/doc/219326>.

@book{Sierpiński1950,
abstract = {SPIS RZECZYPRZEDMOWA............. IIIERRATA.................... VIROZDZIAŁ I. PODZIELNOŚĆ LICZB I ROZKŁAD NA CZYNNIKI PIERWSZE§ 1. Podzielność jednej liczby przez drugą........................... 1§ 2. Wspólne dzielniki dwu liczb....................... 2§ 3. Największy wspólny dzielnik...................... 2§ 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność................ 3§ 5. Własność największego wspólnego dzielnika.......... 4§ 6. Zależność między największym wspólnym dzielnikiem a najmniejszą wspólną wielokrotnością dwu liczb.............. 4§ 7. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki.......................... 5§ 8. Liczby pierwsze i ich ważniejsze własności. Liczby złożone i ich rozkład na czynniki pierwsze............. 8§ 9. Dowód, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele................. 14ROZDZIAŁ II. RÓWNANIA NIEOZNACZONE PIERWSZEGO STOPNIA§ 1. Forma liniowa dla największego wspólnego dzielnika.................... 27§ 2. Warunek na to, by dwie liczby były względnie pierwsze................. 29§ 3. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika za pomocą algorytmu Euklidesa.................... 29§ 4. Rozwijanie liczby na ułamek łańcuchowy............................... 33§ 5. Równania nieoznaczone 1-go stopnia o 2 niewiadomych................... 35§ 6. Równania nieoznaczone 1-go stopnia o n niewiadomych................... 37§ 7. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności n liczb.................. 39ROZDZIAŁ III. ZASADNICZE WŁASNOŚCI KONGRUENCJI. KONGRUENCJE 1-go STOPNIA O MODULE PIERWSZYM§ 1. Kongruencje i ich ważniejsze własności............................ 41§ 2. Zastosowanie kongruencji do otrzymania cech podzielności przez 9, 11, 7, 13, 27 i 37................. 46§ 3. Pierwiastki kongruencji. Reszty według danego modułu..................... 49§ 4. Związek między kongruencjami a pewną klasą równań nieoznaczonych. Kongruencje tożsamościowe i kongruencje sprzeczne................ 50§ 5. Kongruencje 1-go stopnia o module pierwszym.................... 51ROZDZIAŁ IV. TWIERDZENIA WILSONA, EULERA I FERMATA. TWIERDZENIA O ROZKŁADACH NA SUMĘ KWADRATÓW§ 1. Reszty i niereszty kwadratowe. Dowód twierdzeń Wilsona, Eulera i małego twierdzenia Fermata. Symbol Legendre’a.............. 53§ 2. Reszty bezwzględnie najmniejsze. Symbol Legendre’a (D/P) jako reszta bezwzględnie najmniejsza liczby $D^\{(p-1)/2\}$ według modułu p........63§ 3. Reszty kwadratowe dla modułu pierwszego. Ich wyznaczanie i liczba......................... 68§ 4. Dowód twierdzenia Fermata o rozkładzie liczb pierwszych formy 4k+1 na sumę dwu kwadratów............... 71§ 5. Ilość liczb pierwszych formy 4k+1, 4k+3, 3k+2 i 8k+1........................ 76§ 6. Twierdzenie Lejeune-Dirichleta................................ 79§ 7. Warunki rozkładalności na sumę dwu kwadratów.................. 80§ 8. Wyznaczanie rozkładów na sumę dwu kwadratów i średnia ich ilość................. 83§ 9. Rozkłady liczb naturalnych na sumę trzech kwadratów............................ 90§ 10. Rozkłady liczb naturalnych na sumę czterech kwadratów. Twierdzenie Lagrange’a..............93§ 11. Twierdzenie Waringa............................... 102ROZDZIAŁ V. LICZBA I SUMA DZIELNIKÓW, LICZBY DOSKONAŁE, WZORY SUMACYJNE§ 1, Liczba dzielników liczby naturalnej........................ 112§ 2. Suma dzielników liczby naturalnej............................ 113§ 3. Liczby doskonałe. Metoda Euklidesa. Wyznaczanie pierwszych dziesięciu liczb doskonałych parzystych................. 116§ 4. Liczby doskonałe drugiego rodzaju.............................. 123§ 5. Liczby zaprzyjaźnione................................. 125§ 6. Wzory sumacyjne dla liczby dzielników liczby naturalnej.............. 126§ 7. Wzory sumacyjne dla sumy dzielników liczby naturalnej................ 132§ 8. Tożsamość Hermite’a dla funkcji E(x)....................... 134ROZDZIAŁ VI. FUNKCJA MOBIUSA, FUNKCJA GAUSSA, ZALEŻNOŚĆ $F(n)=⅀_\{d|n\}f(d)$ I JEJ ODWRÓCENIE§ 1. Funkcja Möbiusa i jej własności........................... 136§ 2. Liczba niewiększych od x liczb pierwszych względem liczb pierwszych $p_1,p_2,...,p_m$............. 138§ 3. Funkcja Gaussa φ(n)...................... 140§ 4. Własności funkcji Gaussa i jej zastosowania.................... 143§ 5. Wzory sumacyjne dla funkcji Gaussa i Möbiusa...................... 148§ 6. Odwrócenie wzoru $F(n)=⅀_\{d|n\}f(d)$............................... 150§ 7. Funkcja Liouville’a.................................. 154OZDZIAŁ VII. GĘSTOŚĆ ROZMIESZCZENIA LICZB PIERWSZYCH W CIĄGU LICZB NATURALNYCH§ 1. Iloczyn ∏(1-1/p) rozciągnięty na kolejne liczby pierwsze................. 156§ 2. Dowód wzoru $lim_\{x=∞\} π(x)/x=0$.............................. 160§ 3. Ograniczoność stosunku π(x):(x/log x)......................... 161ROZDZIAŁ VIII. TWIERDZENIE EULERA, TWIERDZENIE LAGRANGE’A, PIERWIASTKI PIERWOTNE I WSKAŹNIKI§ 1. Dowód twierdzenia Eulera................ 168§ 2. Wnioski z twierdzenia Eulera............ 172§ 3. Warunek konieczny istnienia pierwiastków pierwotnych liczby m.................. 175§ 4. Twierdzenie Lagrange’a i wnioski z niego.............................. 177§ 5. Dowód istnienia pierwiastków pierwotnych liczb pierwszych............... 183§ 6. Pierwiastki pierwotne dla modułów $p^α$ i $2p^α$........................ 187§ 7. Liczba pierwiastków pierwotnych według jakiegokolwiek modułu............ 191§ 8. Moduł $2^α$ dla α≥3. Własność liczby 5.......................... 193§ 9. Własności wskaźników................................. 196§ 10. Zastosowanie wskaźników. Własności charakterystyczne symbolu Legendre’a.............. 198§ 11. Zastosowania wskaźników do rozwiązywania kongruencji.......................... 201ROZDZIAŁ IX. ROZWINIĘCIA SYSTEMATYCZNE PRZY DOWOLNEJ ZASADZIE NUMERACJI§ 1. Rozwinięcia liczb całkowitych przy danej zasadzie....................... 205§ 2. Ułamki nieskończone przy zasadzie g. Wzór na n-tą cyfrę................. 210§ 3. Algorytm dla wyznaczania rozwinięcia normalnego......................... 213§ 4. Warunek konieczny i wystarczający rozwijalności na ułamek skończony..... 214§ 5. Rozwinięcia liczb wymiernych; ich okresowość............................ 216§ 6. Ciągi okresowe. Okres zasadniczy..................... 217§ 7. Liczba cyfr nieregularnych i liczba cyfr okresu zasadniczego..............219§ 8. Wyznaczanie liczby rodnej............ 224§ 9. Ułamki przy zmiennej zasadzie numeracji................. 226ROZDZIAŁ X. RÓWNANIE PITAGORASA I JEGO UOGÓLNLENIA§ 1. Równanie $x^2 + y^2 = z^2$ w liczbach całkowitych.............229§ 2. Rozwiązania naturalne o dwu liczbach kolejnych............... 233§ 3. Uogólnienia równania Pitagorasa...................... 237§ 4. Równanie Fermata............. 242ROZDZIAŁ XI. RÓWNANIE PELLA§ 1. Dowód istnienia rozwiązań równania Pella............... 251§ 2. Wyznaczanie wszystkich rozwiązań równania Pella........ 254§ 3. Zastosowanie równania Pella........................ 259ROZDZIAŁ XII. UŁAMKI ŁAŃCUCHOWE§ 1. Ułamki łańcuchowe i ich redukty............. 262§ 2. Liczby Δk. Wzór $Δk = (-1)^k$................... 266§ 3. Ułamki łańcuchowe arytmetyczne. Rozwijanie liczb wymiernych na ułamki łańcuchowe............. 267§ 4. Zastosowanie ułamków łańcuchowych do rozwiązywania równań nieoznaczonych 1-go stopnia........ 269§ 5. Rozwijanie liczb niewymiernych na ułamki łańcuchowe nieskończone............................. 270§ 6. Prawo najlepszego przybliżenia.................................... 272§ 7. Jednoznaczność rozwinięcia liczby niewymiernej na ułamek łańcuchowy arytmetyczny............. 274§ 8. Rozwinięcie liczby √D na ułamek łańcuchowy............................... 278§ 9. Twierdzenie Lagrange’a o ułamkach łańcuchowych........................... 290§ 10. Rozwinięcie liczb e i π na ułamki łańcuchowe............................ 297§ 11. Zastosowanie rozwinięcia √D na ułamek łańcuchowy do równania Pella....... 298ROZDZIAŁ XIII. TEORIA KONGRUENCJI PIERWSZEGO I DRUGIEGO STOPNIA§ 1. Kongruencje pierwszego stopnia o dowolnym module..................... 305§ 2. Rozwiązywanie układu kongruencyj pierwszego stopnia o jednej niewiadomej..... 308§ 3. Kongruencje drugiego stopnia; sprowadzanie ich do kongruencji pierwszego stopnia i kongruencji dwumiennej........ 310§ 4. Liczba pierwiastków kongruencji, której moduł jest iloczynem dwu czynników względnie pierwszych............ 312§ 5. Rozwiązywąnie kongruencji dwumiennych drugiego stopnia..................... 314ROZDZIAŁ XIV. TEORIA SYMBOLU LEGENDRE’A I SYMBOLU JACOBIEGO§ 1. Lemat Gaussa...............323§ 2. Wartość symbolu (2/p)....... 325§ 3. Prawo wzajemności liczb pierwszych.............. 326§ 4. Obliczanie wartości symbolu Legendre’a na podstawie jego zasadniczych własności............ 331§ 5. Symbol Jacobiego i jego zasadnicze własności........................335§ 6. Prawidło Eisensteina................................ 341§ 7. Dowód istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych w postępach arytmetycznych 5k-1, 8k-1 i 12k-1............. 346ROZDZIAŁ XV. ZARYS TEORII FORM KWADRATOWYCH§ 1. Formy kwadratowe dwójkowe jednorodne i ich wyróżnik. Zagadnienie podstawowe teorii form kwadratowych............ 351§ 2. Równoważność właściwa i niewłaściwa dwu form kwadratowych. Klasy form kwadratowych.................. 353§ 3. Grupy przedstawień liczby m przez formę (a,b,c)...... 357§ 4. Wyznaczanie wszystkich przedstawień należących do danej grupy.................... 359§ 5. Kryterium równoważności dwu form kwadratowych. Formy zredukowane dla D>0................. 363§ 6. Formy dodatnie i formy zredukowane dla D<0. Przypadek D=-4................... 367§ 7. Badanie równoważności właściwej dwu form zredukowanych o wyróżniku D<0...................... 370§ 8. Badanie równoważności właściwej dwu niewymierności 2-go stopnia....................... 372ROZDZIAŁ XVI. TEORIA LICZB CAŁKOWTTYCH ZESPOLONYCH§ 1. Liczby całkowite zespolone i ich norma. Liczby stowarzyszone......................... 379§ 2. Algorytm kolejnych dzieleń i największy wspólny dzielnik liczb całkowitych zespolonych.............. 383§ 3. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb całkowitych zespolonych................... 388§ 4. Liczby zespolone pierwsze........................ 389§ 5. Rozkład liczb całkowitych zespolonych na czynniki pierwsze....................... 394§ 6. Ilość liczb całkowitych zespolonych o danej normie...................... 396§ 7. Twierdzenie Jacobiego o rozkładach na sumę czterech kwadratów........... 401ROZDZIAŁ XVII. WSTĘP DO TEORII CIAŁ LICZBOWYCH§ 1. Ciało liczbowe. Najprostsze ciało liczbowe, zawierające μ....................... 416§ 2. Ciało liczbowe drugiego stopnia; sprowadzenie go do postaci K(√D)............... 417§ 5. Forma ogólna liczb ciała K(√D). Liczby sprzężone. Norma......................... 419§ 4. Liczby całkowite ciała K(√D).................................................... 421§ 5. Twierdzenie o sumie, różnicy i iloczynie liczb całkowitych...................... 430§ 6. Podzielność liczb całkowitych. Dzielniki jedności............................... 431§ 7. Wyznaczanie wszystkich dzielników jedności...................................... 431§ 8. Liczby nierozkładalne. Przykład niejednoznaczności rozkładu na czynniki nierozkładalne............. 435§ 9. Dowód wielkiego twierdzenia Fermata dla n = 3............................. 438ROZDZIAŁ XVIII. WSTĘP DO TEORII IDEAŁÓW§ 1. Ideały w ciele K(√D). Forma kanoniczna ideałów...................... 443§ 2. Ideały główne. Ideały jako uogólnienie liczb całkowitych............ 446§ 3. Iloczyn ideałów..................................... 449§ 4. Dowód, że norma ideału jest ideałem głównym....................... 450§ 5. Dzielenie ideałów. Ideały względnie pierwsze....................... 454§ 6. Ideały pierwsze.................................... 458§ 7. Rozkład ideału na czynniki pierwsze.................... 459§ 8. Ideały pierwsze 1-go i 2-go stopnia. Rozkład na czynniki pierwsze ideałów głównych, utworzonych przez liczby pierwsze........ 461ROZDZIAŁ XIX. WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA DLA WYKŁADNIKÓW 5 i 7§ 1. Ciała liczbowe, w których każdy ideał jest główny........................ 463§ 2. Twierdzenie Fermata dla potęgi n = 5.................................. 464§ 3. Twierdzenie Fermata dla potęgi n = 7............................. 478ĆWICZENIA DO RÓŻNYCH ROZDZIAŁÓW...................... 489PRZYPISY............................... 525SKOROWIDZ NAZW.................. 532SKOROWIDZ ZNAKÓW................ 535SKOROWIDZ NAZWISK................ 536},
author = {Sierpiński, Wacław},
language = {pol},
location = {Warszawa - Wrocław},
publisher = {Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk},
title = {Teoria liczb},
url = {http://eudml.org/doc/219326},
year = {1950},
}

TY - BOOK
AU - Sierpiński, Wacław
TI - Teoria liczb
PY - 1950
CY - Warszawa - Wrocław
PB - Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk
AB - SPIS RZECZYPRZEDMOWA............. IIIERRATA.................... VIROZDZIAŁ I. PODZIELNOŚĆ LICZB I ROZKŁAD NA CZYNNIKI PIERWSZE§ 1. Podzielność jednej liczby przez drugą........................... 1§ 2. Wspólne dzielniki dwu liczb....................... 2§ 3. Największy wspólny dzielnik...................... 2§ 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność................ 3§ 5. Własność największego wspólnego dzielnika.......... 4§ 6. Zależność między największym wspólnym dzielnikiem a najmniejszą wspólną wielokrotnością dwu liczb.............. 4§ 7. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki.......................... 5§ 8. Liczby pierwsze i ich ważniejsze własności. Liczby złożone i ich rozkład na czynniki pierwsze............. 8§ 9. Dowód, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele................. 14ROZDZIAŁ II. RÓWNANIA NIEOZNACZONE PIERWSZEGO STOPNIA§ 1. Forma liniowa dla największego wspólnego dzielnika.................... 27§ 2. Warunek na to, by dwie liczby były względnie pierwsze................. 29§ 3. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika za pomocą algorytmu Euklidesa.................... 29§ 4. Rozwijanie liczby na ułamek łańcuchowy............................... 33§ 5. Równania nieoznaczone 1-go stopnia o 2 niewiadomych................... 35§ 6. Równania nieoznaczone 1-go stopnia o n niewiadomych................... 37§ 7. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności n liczb.................. 39ROZDZIAŁ III. ZASADNICZE WŁASNOŚCI KONGRUENCJI. KONGRUENCJE 1-go STOPNIA O MODULE PIERWSZYM§ 1. Kongruencje i ich ważniejsze własności............................ 41§ 2. Zastosowanie kongruencji do otrzymania cech podzielności przez 9, 11, 7, 13, 27 i 37................. 46§ 3. Pierwiastki kongruencji. Reszty według danego modułu..................... 49§ 4. Związek między kongruencjami a pewną klasą równań nieoznaczonych. Kongruencje tożsamościowe i kongruencje sprzeczne................ 50§ 5. Kongruencje 1-go stopnia o module pierwszym.................... 51ROZDZIAŁ IV. TWIERDZENIA WILSONA, EULERA I FERMATA. TWIERDZENIA O ROZKŁADACH NA SUMĘ KWADRATÓW§ 1. Reszty i niereszty kwadratowe. Dowód twierdzeń Wilsona, Eulera i małego twierdzenia Fermata. Symbol Legendre’a.............. 53§ 2. Reszty bezwzględnie najmniejsze. Symbol Legendre’a (D/P) jako reszta bezwzględnie najmniejsza liczby $D^{(p-1)/2}$ według modułu p........63§ 3. Reszty kwadratowe dla modułu pierwszego. Ich wyznaczanie i liczba......................... 68§ 4. Dowód twierdzenia Fermata o rozkładzie liczb pierwszych formy 4k+1 na sumę dwu kwadratów............... 71§ 5. Ilość liczb pierwszych formy 4k+1, 4k+3, 3k+2 i 8k+1........................ 76§ 6. Twierdzenie Lejeune-Dirichleta................................ 79§ 7. Warunki rozkładalności na sumę dwu kwadratów.................. 80§ 8. Wyznaczanie rozkładów na sumę dwu kwadratów i średnia ich ilość................. 83§ 9. Rozkłady liczb naturalnych na sumę trzech kwadratów............................ 90§ 10. Rozkłady liczb naturalnych na sumę czterech kwadratów. Twierdzenie Lagrange’a..............93§ 11. Twierdzenie Waringa............................... 102ROZDZIAŁ V. LICZBA I SUMA DZIELNIKÓW, LICZBY DOSKONAŁE, WZORY SUMACYJNE§ 1, Liczba dzielników liczby naturalnej........................ 112§ 2. Suma dzielników liczby naturalnej............................ 113§ 3. Liczby doskonałe. Metoda Euklidesa. Wyznaczanie pierwszych dziesięciu liczb doskonałych parzystych................. 116§ 4. Liczby doskonałe drugiego rodzaju.............................. 123§ 5. Liczby zaprzyjaźnione................................. 125§ 6. Wzory sumacyjne dla liczby dzielników liczby naturalnej.............. 126§ 7. Wzory sumacyjne dla sumy dzielników liczby naturalnej................ 132§ 8. Tożsamość Hermite’a dla funkcji E(x)....................... 134ROZDZIAŁ VI. FUNKCJA MOBIUSA, FUNKCJA GAUSSA, ZALEŻNOŚĆ $F(n)=⅀_{d|n}f(d)$ I JEJ ODWRÓCENIE§ 1. Funkcja Möbiusa i jej własności........................... 136§ 2. Liczba niewiększych od x liczb pierwszych względem liczb pierwszych $p_1,p_2,...,p_m$............. 138§ 3. Funkcja Gaussa φ(n)...................... 140§ 4. Własności funkcji Gaussa i jej zastosowania.................... 143§ 5. Wzory sumacyjne dla funkcji Gaussa i Möbiusa...................... 148§ 6. Odwrócenie wzoru $F(n)=⅀_{d|n}f(d)$............................... 150§ 7. Funkcja Liouville’a.................................. 154OZDZIAŁ VII. GĘSTOŚĆ ROZMIESZCZENIA LICZB PIERWSZYCH W CIĄGU LICZB NATURALNYCH§ 1. Iloczyn ∏(1-1/p) rozciągnięty na kolejne liczby pierwsze................. 156§ 2. Dowód wzoru $lim_{x=∞} π(x)/x=0$.............................. 160§ 3. Ograniczoność stosunku π(x):(x/log x)......................... 161ROZDZIAŁ VIII. TWIERDZENIE EULERA, TWIERDZENIE LAGRANGE’A, PIERWIASTKI PIERWOTNE I WSKAŹNIKI§ 1. Dowód twierdzenia Eulera................ 168§ 2. Wnioski z twierdzenia Eulera............ 172§ 3. Warunek konieczny istnienia pierwiastków pierwotnych liczby m.................. 175§ 4. Twierdzenie Lagrange’a i wnioski z niego.............................. 177§ 5. Dowód istnienia pierwiastków pierwotnych liczb pierwszych............... 183§ 6. Pierwiastki pierwotne dla modułów $p^α$ i $2p^α$........................ 187§ 7. Liczba pierwiastków pierwotnych według jakiegokolwiek modułu............ 191§ 8. Moduł $2^α$ dla α≥3. Własność liczby 5.......................... 193§ 9. Własności wskaźników................................. 196§ 10. Zastosowanie wskaźników. Własności charakterystyczne symbolu Legendre’a.............. 198§ 11. Zastosowania wskaźników do rozwiązywania kongruencji.......................... 201ROZDZIAŁ IX. ROZWINIĘCIA SYSTEMATYCZNE PRZY DOWOLNEJ ZASADZIE NUMERACJI§ 1. Rozwinięcia liczb całkowitych przy danej zasadzie....................... 205§ 2. Ułamki nieskończone przy zasadzie g. Wzór na n-tą cyfrę................. 210§ 3. Algorytm dla wyznaczania rozwinięcia normalnego......................... 213§ 4. Warunek konieczny i wystarczający rozwijalności na ułamek skończony..... 214§ 5. Rozwinięcia liczb wymiernych; ich okresowość............................ 216§ 6. Ciągi okresowe. Okres zasadniczy..................... 217§ 7. Liczba cyfr nieregularnych i liczba cyfr okresu zasadniczego..............219§ 8. Wyznaczanie liczby rodnej............ 224§ 9. Ułamki przy zmiennej zasadzie numeracji................. 226ROZDZIAŁ X. RÓWNANIE PITAGORASA I JEGO UOGÓLNLENIA§ 1. Równanie $x^2 + y^2 = z^2$ w liczbach całkowitych.............229§ 2. Rozwiązania naturalne o dwu liczbach kolejnych............... 233§ 3. Uogólnienia równania Pitagorasa...................... 237§ 4. Równanie Fermata............. 242ROZDZIAŁ XI. RÓWNANIE PELLA§ 1. Dowód istnienia rozwiązań równania Pella............... 251§ 2. Wyznaczanie wszystkich rozwiązań równania Pella........ 254§ 3. Zastosowanie równania Pella........................ 259ROZDZIAŁ XII. UŁAMKI ŁAŃCUCHOWE§ 1. Ułamki łańcuchowe i ich redukty............. 262§ 2. Liczby Δk. Wzór $Δk = (-1)^k$................... 266§ 3. Ułamki łańcuchowe arytmetyczne. Rozwijanie liczb wymiernych na ułamki łańcuchowe............. 267§ 4. Zastosowanie ułamków łańcuchowych do rozwiązywania równań nieoznaczonych 1-go stopnia........ 269§ 5. Rozwijanie liczb niewymiernych na ułamki łańcuchowe nieskończone............................. 270§ 6. Prawo najlepszego przybliżenia.................................... 272§ 7. Jednoznaczność rozwinięcia liczby niewymiernej na ułamek łańcuchowy arytmetyczny............. 274§ 8. Rozwinięcie liczby √D na ułamek łańcuchowy............................... 278§ 9. Twierdzenie Lagrange’a o ułamkach łańcuchowych........................... 290§ 10. Rozwinięcie liczb e i π na ułamki łańcuchowe............................ 297§ 11. Zastosowanie rozwinięcia √D na ułamek łańcuchowy do równania Pella....... 298ROZDZIAŁ XIII. TEORIA KONGRUENCJI PIERWSZEGO I DRUGIEGO STOPNIA§ 1. Kongruencje pierwszego stopnia o dowolnym module..................... 305§ 2. Rozwiązywanie układu kongruencyj pierwszego stopnia o jednej niewiadomej..... 308§ 3. Kongruencje drugiego stopnia; sprowadzanie ich do kongruencji pierwszego stopnia i kongruencji dwumiennej........ 310§ 4. Liczba pierwiastków kongruencji, której moduł jest iloczynem dwu czynników względnie pierwszych............ 312§ 5. Rozwiązywąnie kongruencji dwumiennych drugiego stopnia..................... 314ROZDZIAŁ XIV. TEORIA SYMBOLU LEGENDRE’A I SYMBOLU JACOBIEGO§ 1. Lemat Gaussa...............323§ 2. Wartość symbolu (2/p)....... 325§ 3. Prawo wzajemności liczb pierwszych.............. 326§ 4. Obliczanie wartości symbolu Legendre’a na podstawie jego zasadniczych własności............ 331§ 5. Symbol Jacobiego i jego zasadnicze własności........................335§ 6. Prawidło Eisensteina................................ 341§ 7. Dowód istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych w postępach arytmetycznych 5k-1, 8k-1 i 12k-1............. 346ROZDZIAŁ XV. ZARYS TEORII FORM KWADRATOWYCH§ 1. Formy kwadratowe dwójkowe jednorodne i ich wyróżnik. Zagadnienie podstawowe teorii form kwadratowych............ 351§ 2. Równoważność właściwa i niewłaściwa dwu form kwadratowych. Klasy form kwadratowych.................. 353§ 3. Grupy przedstawień liczby m przez formę (a,b,c)...... 357§ 4. Wyznaczanie wszystkich przedstawień należących do danej grupy.................... 359§ 5. Kryterium równoważności dwu form kwadratowych. Formy zredukowane dla D>0................. 363§ 6. Formy dodatnie i formy zredukowane dla D<0. Przypadek D=-4................... 367§ 7. Badanie równoważności właściwej dwu form zredukowanych o wyróżniku D<0...................... 370§ 8. Badanie równoważności właściwej dwu niewymierności 2-go stopnia....................... 372ROZDZIAŁ XVI. TEORIA LICZB CAŁKOWTTYCH ZESPOLONYCH§ 1. Liczby całkowite zespolone i ich norma. Liczby stowarzyszone......................... 379§ 2. Algorytm kolejnych dzieleń i największy wspólny dzielnik liczb całkowitych zespolonych.............. 383§ 3. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb całkowitych zespolonych................... 388§ 4. Liczby zespolone pierwsze........................ 389§ 5. Rozkład liczb całkowitych zespolonych na czynniki pierwsze....................... 394§ 6. Ilość liczb całkowitych zespolonych o danej normie...................... 396§ 7. Twierdzenie Jacobiego o rozkładach na sumę czterech kwadratów........... 401ROZDZIAŁ XVII. WSTĘP DO TEORII CIAŁ LICZBOWYCH§ 1. Ciało liczbowe. Najprostsze ciało liczbowe, zawierające μ....................... 416§ 2. Ciało liczbowe drugiego stopnia; sprowadzenie go do postaci K(√D)............... 417§ 5. Forma ogólna liczb ciała K(√D). Liczby sprzężone. Norma......................... 419§ 4. Liczby całkowite ciała K(√D).................................................... 421§ 5. Twierdzenie o sumie, różnicy i iloczynie liczb całkowitych...................... 430§ 6. Podzielność liczb całkowitych. Dzielniki jedności............................... 431§ 7. Wyznaczanie wszystkich dzielników jedności...................................... 431§ 8. Liczby nierozkładalne. Przykład niejednoznaczności rozkładu na czynniki nierozkładalne............. 435§ 9. Dowód wielkiego twierdzenia Fermata dla n = 3............................. 438ROZDZIAŁ XVIII. WSTĘP DO TEORII IDEAŁÓW§ 1. Ideały w ciele K(√D). Forma kanoniczna ideałów...................... 443§ 2. Ideały główne. Ideały jako uogólnienie liczb całkowitych............ 446§ 3. Iloczyn ideałów..................................... 449§ 4. Dowód, że norma ideału jest ideałem głównym....................... 450§ 5. Dzielenie ideałów. Ideały względnie pierwsze....................... 454§ 6. Ideały pierwsze.................................... 458§ 7. Rozkład ideału na czynniki pierwsze.................... 459§ 8. Ideały pierwsze 1-go i 2-go stopnia. Rozkład na czynniki pierwsze ideałów głównych, utworzonych przez liczby pierwsze........ 461ROZDZIAŁ XIX. WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA DLA WYKŁADNIKÓW 5 i 7§ 1. Ciała liczbowe, w których każdy ideał jest główny........................ 463§ 2. Twierdzenie Fermata dla potęgi n = 5.................................. 464§ 3. Twierdzenie Fermata dla potęgi n = 7............................. 478ĆWICZENIA DO RÓŻNYCH ROZDZIAŁÓW...................... 489PRZYPISY............................... 525SKOROWIDZ NAZW.................. 532SKOROWIDZ ZNAKÓW................ 535SKOROWIDZ NAZWISK................ 536
LA - pol
UR - http://eudml.org/doc/219326
ER -

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.