Théorèmes de réflexion

Georges Gras

Journal de théorie des nombres de Bordeaux (1998)

  • Volume: 10, Issue: 2, page 399-499
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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Let K be a number field containing μ p and supplied with a group of automorphisms G of prime to p order ; for all 𝔽 p -irreducible representation V χ of G , with character χ , and all G-module M , let rg χ ( M ) be the maximal integer r such that M / M p contains V χ r . We obtain for instance the following explicit general formula : r g χ * ( C ℓ T S ) - r g χ ( C ℓ S T ) = ρ χ ( T , S ) , where T and S are finite disjoint sets of places of K such that T ∪ S contains all places above p ∞ , where C ℓ T S is the generalized class group corresponding, by class field theory, to the Galois group of the maximal abelian p -extension, T -ramified and S -splitted of K , and ρ χ ( T , S ) is an elementary algebraic expression and * the involution which acts on characters according to classical Kummer duality. This formula, and those obtained without the hypothesis about the places above p ∞ , give the most general “Spiegelungssatz” of Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e. with conductors), generalizations of a great number of isolated results (especially in the subtil case p = 2 ), and rank formulas for the main arithmetical invariants attached to K .

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Gras, Georges. "Théorèmes de réflexion." Journal de théorie des nombres de Bordeaux 10.2 (1998): 399-499. <http://eudml.org/doc/248168>.

@article{Gras1998,
abstract = {Soit $K$ un corps de nombres contenant $\mu _p$ et muni d’un groupe d’automorphismes $G$ d’ordre étranger à $p$ ; pour toute représentation $\mathbb \{F\}_p$-irréductible $V_\chi $ de $G$, de caractère $\chi $, et tout $G$-module $M$, soit rg$_\chi (M)$ l’entier $r$ maximum tel que $M/M^p$ contienne $V^r_\chi $. Nous établissons par exemple la formule générale explicite suivante :\begin\{equation*\}rg\_\{\chi ^ \ast \} (C \ell ^S\_T) - rg\_\chi (C \ell ^T\_S) = \rho \_\chi (T,S),\end\{equation*\}où $T$ et $S$ sont des ensembles finis disjoints de places de $K$ tels que $T \cup S$ contienne les places au-dessus de $p \infty $, où $C \ell ^S_T$ est le groupe de classes généralisées qui correspond, par le corps de classes, au groupe de Galois de la $p$-extension abélienne maximale $T$-ramifiée, $S$-décomposée de $K$, et où $\rho _\chi (T, S)$ est une expression algébrique élémentaire et * l’involution qui échange les caractères selon la dualité de Kummer classique. Cette formule, ainsi que celles obtenues en dehors de l’hypothèse sur les places au-dessus de $p \infty $, conduisent à la théorie la plus générale du “Spiegelungssatz” de Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e. avec conducteurs), à la généralisation d’un grand nombre de résultats isolés (notamment dans le subtil cas $p = 2$), et enfin à des formules de rangs pour les principaux invariants arithmétiques attachés à $K$.},
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keywords = {«Spiegelungssatz» avec conducteurs; théorème de Scholz-Leopoldt-Kuroda; corps de classes; groupes de classes généralisées; unités; représentations et caractères; $\chi $-rangs; $p$-rangs; extensions de Kummer; décomposition des idéaux premiers; $p$-ramification abélienne; conjecture de Leopoldt-Jaulent; $K$-théorie des anneaux d’entiers; Spiegelungssatz; generalized class groups; Kummer extensions; class fields; -theory of rings of integers; theorem of reflexion},
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