Théorèmes de réflexion

Georges Gras

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Finitude de tours et $p$ -tours $T$ -ramifiées modérées, $S$ -décomposées

Christian Maire (1996)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Soit $k$ un corps de nombres et soient $T$ et $S$ deux ensembles finis de places de $k$ ; on peut définir la tour de Hilbert de $k$ , $T$ -ramifiée modérée, $S$ -décomposée. Ceci permet d’obtenir, par exemple, la notion de tour de Hilbert au sens classique et de tour de Hilbert au sens restreint. On donne alors d’une part, un critère de finitude de cette nouvelle tour, critère construit à partir d’un résultat d’Odlyzko, puis d’autre part deux critères de non-finitude, le premier étant une conséquence...

Extensions cycliques de degré $ℓ$ de corps de nombres $ℓ$ -réguliers

Florence Soriano (1994)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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We determine all cyclic extensions $L$ of prime degree $ℓ$ over a $ℓ$ -regular number field $K$ containing the $ℓ$ -roots of unity which are also $l$ -regular. We classify these extensions according to the ramification index of the wild place $ℒ$ in $L / K$ and to the $ℓ$ -valuation of the relative class number $h_{L / K}$ (which is the quotient $h_{L} / h_{K}$ of the ordinary class numbers of $L$ and $K$ ). We study the case where the $ℓ$ is odd prime, since the even case was studien by R. Berger. Our genus theory methods rely essentially...

Sur les $ℓ$ -classes d’idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier $ℓ$

Georges Gras (1973)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $H (K)$ le $ℓ$ -groupe des classes d’idéaux d’une extension $K / k$ cyclique de degré premier $ℓ$ et soit $H_{i} = Ker (σ - 1)^{i}$ ( $σ$ générateur de $Gal (K / k)$ ). Un procédé généralisant la formule de Chevalley (formule des classes “ambiges”) permet de déterminer $H_{i + 1}$ et l’ordre de $H_{i + 1} / H_{i}$ à partir de $H_{i}$ . On obtient donc une méthode qui permet, d’une part, une détermination effective de la structure de $H (K)$ et, d’autre part, une étude générale des problèmes de $ℓ$ -classes d’idéaux.

Ramifications minimales

Georges Gras (2000)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Nous appliquons à la notion d’extension (cyclique de degré $p$ ) à ramification minimale, les techniques de “ réflexion ” qui permettent une caractérisation très simple de ces extensions à l’aide d’un corps gouvernant.

Sur les corps de Hilbert-Speiser

Thomas Herreng (2005)

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

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On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser en un premier $p$ si toute extension modérée abélienne finie de degré $p$ admet une base normale entière. On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser s’il est de Hilbert-Speiser pour tout premier $p$ . Il est bien connu que $ℚ$ est un tel corps. Dans un article [3] de 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav ont montré que $ℚ$ était le seul corps de Hilbert-Speiser. On donne ici une condition nécessaire et suffisante pour qu’un corps soit de Hilbert-Speiser...

Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois $A_{4}$

Marjory Godin, Bouchaïb Sodaïgui (2002)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Soient $k$ un corps de nombres et $𝒞 l (k)$ son groupe des classes. Une extension de $k$ à groupe de Galois isomorphe au groupe alterné $A_{4}$ est dite alternée. Soit $E / k$ une extension cyclique de degré $3$ . On calcule la classe de Steinitz, dans $𝒞 l (k)$ , de toute extension alternée contenant $E$ . Sous l’hypothèse que le nombre des classes de $k$ est impair, on détermine l’ensemble de telles classes et on montre que c’est un sous-groupe de $𝒞 l (k)$ lorsque l’anneau des entiers de $E$ est libre sur celui de $k$ ou $3$ ne divise...

Sur la structure galoisienne du groupe des unités d’un corps abélien de type $(p, p)$

Lyliane Bouvier, Jean-Jacques Payan (1979)

Annales de l'institut Fourier

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Pour décrire la structure galoisienne à $Z [G]$ -isomorphisme près du quotient par ${\pm 1}$ du groupe des unités d’une extension abélienne absolue de groupe de Galois $G$ de type $(p, p)$ , on amorce la description des $Z [G]$ -modules de type fini libres sur $Z$ dont le caractère est contenu dans la représentation d’augmentation. La classification est complète pour les modules de rang inférieur ou égal à 3 ; elle est appliquée à la description donnée par T. Kubota des unités d’un corps biquadratique non cyclique en...

Sur la structure des groupes de classes relatives. Avec un appendice d'exemples numériques par T. Berthier

Georges Gras (1993)

Annales de l'institut Fourier

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Suite aux travaux de R. Schoof et de H.W. Lenstra–R. Schoof, nous donnons une méthode permettant de trouver, pour tout $p$ premier ne divisant pas $[F : ℚ]$ , un système de générateurs du $p$ -groupe des classes relatives du corps abélien imaginaire $F$ , ceci avec la seule connaissance de nombres de Bernoulli $B_{1} (ψ^{- 1})$ . Des exemples numériques sont donnés pour $p = 3$ et $p = 5$ , dans le cadre des extensions cycliques de degré 2 et 4. Le premier exemple de $p$ -groupe des classes possédant une $χ$ -composante non monogène (pour...