Annulation du groupe des $\ell$-classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à $\ell$

Gras, Georges. "Annulation du groupe des $\ell $-classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à $\ell $." Annales de l'institut Fourier 29.1 (1979): 15-32. <http://eudml.org/doc/74393>.

@article{Gras1979,
abstract = {Soit $\ell $ un nombre premier impair. Soit $K$ une extension abélienne réelle de $\{\bf Q\}$ de degré premier à $\ell $ et soit $G$ son groupe de Galois; soit $\varphi $ ($\varphi \ne 1$) un caractère $\ell $-adique irréductible de $K$. Soit $M$ la $\ell $-extension abélienne maximale de $K$ non ramifiée en dehors de $\ell $ et soit $\{\cal A\}$ le $\{\bf Z\}_\ell [G]$-module Gal$(M/K)$ ; $\{\cal A\}^\varphi $ (la $\varphi $-composante de $\{\cal A\}$) est un module fini sur l’anneau des entiers $\{\bf Z\}^\{\psi ^\{\prime \}\}_\ell $ de $\{\bf Q\}^\{\psi ^\{\prime \}\}_\ell $ (corps des valeurs sur $\{\bf Q\}_\ell $ d’un caractère $\psi ^\{\prime \}$ de degré 1 divisant $\varphi $). On construit explicitement pour tout $n\ge 0$ un élément $\{\cal S\}_n$ de $\{\bf Z\}^\{\psi ^\{\prime \}\}_\ell $ qui annule le module $\{\cal A\}^\varphi /\{\cal A\}^\{\varphi \ell ^\{n+1\}\}$. On montre ensuite que la suite des $\{\cal S\}_n$ a une limite $\ell $-adique (qui annule $\{\cal A\}^\varphi $) et que cette limite est le nombre $L_\ell (1,\psi ^\{\prime \})$ (valeur en “$s=1$” de la fonction $L$$\ell $-adique relative au caractère $\psi ^\{\prime \}$).},
author = {Gras, Georges},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {L-ADIC CHARACTER; ALGEBRAIC INTEGERS; ALGEBRAS; ABELIAN FIELD},
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publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Annulation du groupe des $\ell $-classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à $\ell $},
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year = {1979},
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TY - JOUR
AU - Gras, Georges
TI - Annulation du groupe des $\ell $-classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à $\ell $
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1979
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 29
IS - 1
SP - 15
EP - 32
AB - Soit $\ell $ un nombre premier impair. Soit $K$ une extension abélienne réelle de ${\bf Q}$ de degré premier à $\ell $ et soit $G$ son groupe de Galois; soit $\varphi $ ($\varphi \ne 1$) un caractère $\ell $-adique irréductible de $K$. Soit $M$ la $\ell $-extension abélienne maximale de $K$ non ramifiée en dehors de $\ell $ et soit ${\cal A}$ le ${\bf Z}_\ell [G]$-module Gal$(M/K)$ ; ${\cal A}^\varphi $ (la $\varphi $-composante de ${\cal A}$) est un module fini sur l’anneau des entiers ${\bf Z}^{\psi ^{\prime }}_\ell $ de ${\bf Q}^{\psi ^{\prime }}_\ell $ (corps des valeurs sur ${\bf Q}_\ell $ d’un caractère $\psi ^{\prime }$ de degré 1 divisant $\varphi $). On construit explicitement pour tout $n\ge 0$ un élément ${\cal S}_n$ de ${\bf Z}^{\psi ^{\prime }}_\ell $ qui annule le module ${\cal A}^\varphi /{\cal A}^{\varphi \ell ^{n+1}}$. On montre ensuite que la suite des ${\cal S}_n$ a une limite $\ell $-adique (qui annule ${\cal A}^\varphi $) et que cette limite est le nombre $L_\ell (1,\psi ^{\prime })$ (valeur en “$s=1$” de la fonction $L$$\ell $-adique relative au caractère $\psi ^{\prime }$).
LA - fre
KW - L-ADIC CHARACTER; ALGEBRAIC INTEGERS; ALGEBRAS; ABELIAN FIELD
UR - http://eudml.org/doc/74393
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