Théorèmes de réflexion

Georges Gras

Journal de théorie des nombres de Bordeaux (1998)

  • Volume: 10, Issue: 2, page 399-499
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

top
Let K be a number field containing μ p and supplied with a group of automorphisms G of prime to p order ; for all 𝔽 p -irreducible representation V χ of G , with character χ , and all G-module M , let rg χ ( M ) be the maximal integer r such that M / M p contains V χ r . We obtain for instance the following explicit general formula : r g χ * ( C T S ) - r g χ ( C S T ) = ρ χ ( T , S ) , where T and S are finite disjoint sets of places of K such that T S contains all places above p , where C T S is the generalized class group corresponding, by class field theory, to the Galois group of the maximal abelian p -extension, T -ramified and S -splitted of K , and ρ χ ( T , S ) is an elementary algebraic expression and * the involution which acts on characters according to classical Kummer duality. This formula, and those obtained without the hypothesis about the places above p , give the most general “Spiegelungssatz” of Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e. with conductors), generalizations of a great number of isolated results (especially in the subtil case p = 2 ), and rank formulas for the main arithmetical invariants attached to K .

How to cite

top

Gras, Georges. "Théorèmes de réflexion." Journal de théorie des nombres de Bordeaux 10.2 (1998): 399-499. <http://eudml.org/doc/248168>.

@article{Gras1998,
abstract = {Soit $K$ un corps de nombres contenant $\mu _p$ et muni d’un groupe d’automorphismes $G$ d’ordre étranger à $p$ ; pour toute représentation $\mathbb \{F\}_p$-irréductible $V_\chi $ de $G$, de caractère $\chi $, et tout $G$-module $M$, soit rg$_\chi (M)$ l’entier $r$ maximum tel que $M/M^p$ contienne $V^r_\chi $. Nous établissons par exemple la formule générale explicite suivante :\begin\{equation*\}rg\_\{\chi ^ \ast \} (C \ell ^S\_T) - rg\_\chi (C \ell ^T\_S) = \rho \_\chi (T,S),\end\{equation*\}où $T$ et $S$ sont des ensembles finis disjoints de places de $K$ tels que $T \cup S$ contienne les places au-dessus de $p \infty $, où $C \ell ^S_T$ est le groupe de classes généralisées qui correspond, par le corps de classes, au groupe de Galois de la $p$-extension abélienne maximale $T$-ramifiée, $S$-décomposée de $K$, et où $\rho _\chi (T, S)$ est une expression algébrique élémentaire et * l’involution qui échange les caractères selon la dualité de Kummer classique. Cette formule, ainsi que celles obtenues en dehors de l’hypothèse sur les places au-dessus de $p \infty $, conduisent à la théorie la plus générale du “Spiegelungssatz” de Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e. avec conducteurs), à la généralisation d’un grand nombre de résultats isolés (notamment dans le subtil cas $p = 2$), et enfin à des formules de rangs pour les principaux invariants arithmétiques attachés à $K$.},
author = {Gras, Georges},
journal = {Journal de théorie des nombres de Bordeaux},
keywords = {«Spiegelungssatz» avec conducteurs; théorème de Scholz-Leopoldt-Kuroda; corps de classes; groupes de classes généralisées; unités; représentations et caractères; $\chi $-rangs; $p$-rangs; extensions de Kummer; décomposition des idéaux premiers; $p$-ramification abélienne; conjecture de Leopoldt-Jaulent; $K$-théorie des anneaux d’entiers; Spiegelungssatz; generalized class groups; Kummer extensions; class fields; -theory of rings of integers; theorem of reflexion},
language = {fre},
number = {2},
pages = {399-499},
publisher = {Université Bordeaux I},
title = {Théorèmes de réflexion},
url = {http://eudml.org/doc/248168},
volume = {10},
year = {1998},
}

TY - JOUR
AU - Gras, Georges
TI - Théorèmes de réflexion
JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY - 1998
PB - Université Bordeaux I
VL - 10
IS - 2
SP - 399
EP - 499
AB - Soit $K$ un corps de nombres contenant $\mu _p$ et muni d’un groupe d’automorphismes $G$ d’ordre étranger à $p$ ; pour toute représentation $\mathbb {F}_p$-irréductible $V_\chi $ de $G$, de caractère $\chi $, et tout $G$-module $M$, soit rg$_\chi (M)$ l’entier $r$ maximum tel que $M/M^p$ contienne $V^r_\chi $. Nous établissons par exemple la formule générale explicite suivante :\begin{equation*}rg_{\chi ^ \ast } (C \ell ^S_T) - rg_\chi (C \ell ^T_S) = \rho _\chi (T,S),\end{equation*}où $T$ et $S$ sont des ensembles finis disjoints de places de $K$ tels que $T \cup S$ contienne les places au-dessus de $p \infty $, où $C \ell ^S_T$ est le groupe de classes généralisées qui correspond, par le corps de classes, au groupe de Galois de la $p$-extension abélienne maximale $T$-ramifiée, $S$-décomposée de $K$, et où $\rho _\chi (T, S)$ est une expression algébrique élémentaire et * l’involution qui échange les caractères selon la dualité de Kummer classique. Cette formule, ainsi que celles obtenues en dehors de l’hypothèse sur les places au-dessus de $p \infty $, conduisent à la théorie la plus générale du “Spiegelungssatz” de Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e. avec conducteurs), à la généralisation d’un grand nombre de résultats isolés (notamment dans le subtil cas $p = 2$), et enfin à des formules de rangs pour les principaux invariants arithmétiques attachés à $K$.
LA - fre
KW - «Spiegelungssatz» avec conducteurs; théorème de Scholz-Leopoldt-Kuroda; corps de classes; groupes de classes généralisées; unités; représentations et caractères; $\chi $-rangs; $p$-rangs; extensions de Kummer; décomposition des idéaux premiers; $p$-ramification abélienne; conjecture de Leopoldt-Jaulent; $K$-théorie des anneaux d’entiers; Spiegelungssatz; generalized class groups; Kummer extensions; class fields; -theory of rings of integers; theorem of reflexion
UR - http://eudml.org/doc/248168
ER -

References

top
  1. [AF] J.V. Armitage, A. Fröhlich, Class numbers and unit signatures. Mathematika14 (1967), 94-98. Zbl0149.29501MR214566
  2. [AT] E. Artin, J. Tate, Class field theory. Benjamin, New York-Amsterdam1967. Zbl0176.33504MR223335
  3. [B] J. Browkin, On the p-rank of the tame kernel of algebraic number fields. J. Reine Angew. Math.432 (1992), 135-149. Zbl0754.11037MR1184763
  4. [CF] J.W.S. Cassels, A. Frôhlich, Algebraic number theory. Academic Press, London-New York1967. Zbl0153.07403MR215665
  5. [Co] M.J. Collins, Representations and characters of finite groups. Cambridge Studies in advanced mathematics22, Cambridge University Press1990. Zbl0703.20001MR1050762
  6. [Em] M. Emsalem, Rang p-adique de groupes de S-unités d'un corps de nombres. C.R. Acad. Sci. Paris297 (1983), 225-228. Zbl0529.12006MR727175
  7. [G1] G. Gras, Groupe de Galois de la p-extension abélienne p-ramifiée maximale d'un corps de nombres. J. Reine Angew. Math.333 (1982), 86-132. Zbl0477.12009MR660786
  8. [G2] G. Gras, Logarithme p-adique et groupes de Galois. J. Reine Angew. Math.343 (1983), 64-80. Zbl0501.12015MR705877
  9. [G3] G. Gras, Remarks on K2 of number fields. J. Number Theory23 (1986), 322-335. Zbl0589.12010MR846962
  10. [G4] G. Gras, Annulation du groupe des l-classes généralisées d'une extension abélienne réelle de degré premier à l. Ann. Inst. Fourier29 (1979), no. 1, 15-32. Zbl0387.12008MR526775
  11. [G5] G. Gras, Critère de parité du nombre de classes des extensions abéliennes réelles de Q de degré impair. Bull. Soc. Math. France103 (1975), 177-190. Zbl0312.12013MR387238
  12. [G6] G. Gras, Théorie des genres analytique des fonctions L p-adiques des corps totalement réels. Invent. math.86 (1986), 1-17. Zbl0571.12008MR853442
  13. [GMN] M.-N. Gras, Méthodes et algorithmes pour le calcul numérique du nombre de classes et des unités des extensions cubiques cycliques de Q. J. Reine Angew. Math.277 (1975), 89-116. Zbl0315.12007MR389845
  14. [Hag] R. Haggenmüller, Signaturen von Einheiten und unverzweigte quadratische Erweiterungen total-reller Zahlkörper. Arch. Math.39 (1982), 312-321. Zbl0528.12010MR684400
  15. [H] H. Hasse, Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper I, Ia, II, Physica Verlag, Würzburg, 1965. 
  16. [He1] E. Hecke, Über nicht-reguläre Primzahlen und den Fermatschen Satz. Göttingen Nachr., Math. Phys. Kl. (1910), 420-424. JFM41.0237.02
  17. [He2] E. Hecke, Lectures on the theory of algebraic numbers (Trad. from german), Graduate Texts in Mathematics, 77, Springer-Verlag, 1981. Zbl0504.12001MR638719
  18. [HK] J. Hurrelbrink, M. Kolster, Tame kernel under relative quadratic extensions and Hilbert symbols. Preprint Series, 4 (1996/97) . Zbl1044.11100MR1631116
  19. [J1] J.-F. Jaulent, L'arithmétique des l-extensions (Thèse d'Etat), Université de Franche-Comté, Besançon, Publ. Math. Fac. Sci. Besançon (Théorie des Nombres), Années 1984/85-1985/86. Zbl0601.12002MR898668
  20. [J2] J.-F. Jaulent, Représentations l-adiques et invariants cyclotomiques. Publ. Math. Fac. Sci. Besançon (Théorie des Nombres), Année 1983/1984. Zbl0567.12008MR803699
  21. [J3] J.-F. Jaulent, Sur quelques représentations l-adiques liées aux symboles et à la l-ramification. Sém. Théorie des Nombres de Bordeaux23, Année 1983/ 1984. Zbl0545.12006MR784070
  22. [J4] J.-F. Jaulent, Dualité dans les corps surcirculaires. Sém. Théorie des Nombres, Paris (1986 /87), Progress in Mathematics, 75, Birkhäuser1988, 183-220. Zbl0679.12007MR990512
  23. [J5] J.-F. Jaulent, Sur l'indépendance l-adique de nombres algébriques. J. Number Theory20 (1985), 149-158. Zbl0571.12007MR790777
  24. [K1] B. Kahn, Descente galoisienne et K2 des corps de nombres. K-Theory7 (1993), 55-100. Zbl0780.12007MR1220427
  25. [K2] B. Kahn, The Quillen-Lichtenbaum conjecture at the prime 2. (prépublication, 1997). 
  26. [Ke] F. Keune, On the structure of the K2 of the ring of integers in a number field. K-Theory2 (1989), no. 5, 625-645. Zbl0705.19007MR999397
  27. [Ko] H. Koch (Parshin, A.N., Šafarevič, I.R., Eds.), Number Theory II. Encycl. of Math. Sci., vol. 62, Springer-Verlag, 1992. Zbl0814.00007MR1218887
  28. [Kol] M. Kolster, Remarks on étale K-theory and Leopoldt's conjecture. Sém. Théorie des Nombres, Paris (1991/92), Progress in Mathematics, 116, Birkhäuser1994, 37-62. Zbl1043.19500MR1300881
  29. [K] E.E. Kummer (Weil, A., Ed.), Ernst Edward Kummer collected papers I: Contributions to Number Theory. Springer-Verlag, 1975. Zbl0327.01019MR465761
  30. [Ku] S.-N. Kuroda, Über den Allgemeinen Spiegelungssatz für Galoissche Zahlkörper. J. Number Theory2 (1970), 282-297. Zbl0222.12013MR311624
  31. [La] J.C. Lagarias, Signatures of units and congruences (mod 4) in certain totally real fields. J. Reine Angew. Math.320 (1980), 1-5. Zbl0439.12003MR592138
  32. [L] S. Lang, Algebraic Number Theory. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 110. Springer-Verlag, New York, 1994. Zbl0811.11001MR1282723
  33. [Le] H.W. Leopoldt, Zur Struktur der t-Klassengruppe galoischer Zahlkörper. J. Reine Angew. Math.199 (1958), 165-174. Zbl0082.25402MR96633
  34. [M] C. Maire, Extensions T-ramifiées modérées, S-décomposées (Thèse de Doctorat), Université de Franche-Comté, Besançon1995. 
  35. [MN] A. Movahhedi, T. Nguyen Quang Do, Sur l'arithmétique des corps de nombres p-rationnels. Sém. Théorie des Nombres, Paris (1987/89), Progress in Mathematics, 81, Birkhäuser1990, 155-200. Zbl0703.11059MR1042770
  36. [N1] T. Nguyen Quang Do, Sur la Zp-torsion de certains modules galoisiens. Ann. Inst. Fourier36 (1986), 27-46. Zbl0576.12010MR850741
  37. [N2] T. Nguyen Quang Do, Sur la torsion de certains modules galoisiens II. Sém. Théorie des Nombres, Paris (1986/87), Progress in Mathematics, 75, Birkhäuser1988, 271-297. Zbl0687.12005MR990514
  38. [N3] T. Nguyen Quang Do, Une étude cohomologique de la partie 2-primaire de K2 O. K-Theory3 (1990), 523-542. Zbl0712.11070MR1071894
  39. [O1] B. Oriat, Généralisation du "Spiegelungssatz". Soc. Math. France, Astérisque61 (1979), 169-175. Zbl0403.12014
  40. [O2] B. Oriat, Relation entre les 2-groupes des classes d'idéaux au sens ordinaire et restreint de certains corps de nombres. Bull. Soc. Math. France104 (1976), 301-307. Zbl0352.12007MR435038
  41. [03] B. Oriat, Relations entre les 2-groupes des classes d'idéaux des extensions quadratiques k(√d) et k(√-d). Ann. Inst. Fourier27 (1977), 37-59. Zbl0351.12001
  42. [O4] B. Oriat, Annulation de groupes de classes réelles. Nagoya Math. J.81 (1981), 45-56. Zbl0495.12002MR607073
  43. [OS] B. Oriat, P. Satgé, Un essai de généralisation du "Spiegelungssatz" . J. Reine Angew. Math.307/308 (1979), 134-159. Zbl0395.12015MR534216
  44. [R] Reiner I., Maximal orders. Academic Press, London1975. Zbl0305.16001MR1972204
  45. [Ro] D. Roy (Gouvêa, F., Ed.), On the v-adic independance of algebraic numbers, Advances in Number Theory. Proc. 3e conf. Théorie des Nombres, Queen's Univ., Kingston, Canada (1991), Clarendon Press, Oxford1993, 441-451. Zbl0788.11051MR1368440
  46. [Š] I.R. Šafarevič, Extensions with given points of ramification. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci.18 (1964), 71-95 (A.M.S. Transl. Ser.259 (1966), 128-149). Zbl0199.09707MR176979
  47. [S] C.-G. Schmidt, On ray class annihilators of cyclotomic fields. Invent. math.66 (1982), 215-230. Zbl0485.12002MR656621
  48. [Sc] A. Scholz, Über die Bezeichung der Klassenzahlen quadratischer Körper zueinander. J. Reine Angew. Math.166 (1932), 201-203. Zbl0004.05104JFM58.0181.05
  49. [S1] J.-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis. coll. Méthodes, Hermann, 3e ed., Paris1978. Zbl0407.20003MR543841
  50. [S2] J.-P. Serre, Corps locaux. Hermann1962. Zbl0137.02601MR354618
  51. [So] C. Soulé, K-théorie des anneaux d'entiers de corps de nombres et cohomologie étale. Invent. Math.55 (1979), 251-295. Zbl0437.12008MR553999
  52. [T] J. Tate, Relations between K2 and galois cohomology. Invent. Math.36 (1976), 257-274. Zbl0359.12011MR429837
  53. [TBS] J. Tate, Les conjectures de Stark sur les fonctions L d'Artin en s = 0. Lecture notes edited by Dominique Bernardi and Norbert Schappacher. Progress in Mathematics, 47. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, Mass., 1984. Zbl0545.12009MR782485
  54. [Ta] M. Taylor, Galois module structure of class groups and units. Mathematika22 (1975), 156-160. Zbl0322.12010MR387247
  55. [W] L.C. Washington, Introduction to cyclotomic fields. Springer, New York-Heidelberg -Berlin, 1982. Zbl0484.12001MR718674
  56. [We] A. Weiss, Multiplicative module structure. Fields Institute Monographs, A.M.S.1996. Zbl0856.11050

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.