Sur une condition suffisante pour l’existence de mesures p -adiques admissibles

Alexei Panchishkin

Journal de théorie des nombres de Bordeaux (2003)

  • Volume: 15, Issue: 3, page 805-829
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

top
We give a new sufficient condition for the existence of admissible p -adic measures μ obtained from sequences of distributions Φ j ( j ≥ 0 ) with values in spaces of modular forms. We use the characteristic projection on the primary subspace associated to a non zero eigenvalue α of the Atkin operator U . Our condition is expressed in terms of congruences between the Fourier coefficients of the modular forms Φ j . We show how to verify these congruences and we give several applications. So we get a conceptual explanation for the Yu.Manin’s formulas for the distributions attached to the L -function, L f ( s , χ ) = ∑ n ≥ 1 χ ( n ) a n n - s , of a primitive cuspform f = ∑ n ≥ 1 a n q n ∈ S k ( Γ 0 ( N ) , ψ ) of weight k ≥ 2 .

How to cite

top

Panchishkin, Alexei. "Sur une condition suffisante pour l’existence de mesures $p$-adiques admissibles." Journal de théorie des nombres de Bordeaux 15.3 (2003): 805-829. <http://eudml.org/doc/249107>.

@article{Panchishkin2003,
abstract = {On donne une nouvelle condition suffisante pour l’existence des mesures $p$-adiques admissibles $\mu $ obtenues à partir de suites de distributions $\Phi _j ( j \ge 0)$ à valeurs dans les espaces de formes modulaires. On utilise la projection caractéristique sur le sous-espace primaire associé à une valeur propre non nulle $\alpha $ de l’opérateur $U$ d’Atkin. Notre condition est exprimée en termes des congruences entre les coefficients de Fourier des formes modulaires $\Phi _j$. On montre comment vérifier ces congruences, et on traite plusieurs applications. On obtient donc une explication conceptuelle des formules de Yu.Manin pour les distributions attachées à la fonction $L_f( s, \chi ) = \sum _\{n \ge 1\} \chi (n)a_nn^\{-s\}$ d’une forme parabolique primitive $f = \sum _\{n \ge 1\} a_nq^n \in S_k(\Gamma _0(N),\psi )$ de poids $k \ge 2$.},
author = {Panchishkin, Alexei},
journal = {Journal de théorie des nombres de Bordeaux},
keywords = {Atkin operator; -adic function; modular forms},
language = {fre},
number = {3},
pages = {805-829},
publisher = {Université Bordeaux I},
title = {Sur une condition suffisante pour l’existence de mesures $p$-adiques admissibles},
url = {http://eudml.org/doc/249107},
volume = {15},
year = {2003},
}

TY - JOUR
AU - Panchishkin, Alexei
TI - Sur une condition suffisante pour l’existence de mesures $p$-adiques admissibles
JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY - 2003
PB - Université Bordeaux I
VL - 15
IS - 3
SP - 805
EP - 829
AB - On donne une nouvelle condition suffisante pour l’existence des mesures $p$-adiques admissibles $\mu $ obtenues à partir de suites de distributions $\Phi _j ( j \ge 0)$ à valeurs dans les espaces de formes modulaires. On utilise la projection caractéristique sur le sous-espace primaire associé à une valeur propre non nulle $\alpha $ de l’opérateur $U$ d’Atkin. Notre condition est exprimée en termes des congruences entre les coefficients de Fourier des formes modulaires $\Phi _j$. On montre comment vérifier ces congruences, et on traite plusieurs applications. On obtient donc une explication conceptuelle des formules de Yu.Manin pour les distributions attachées à la fonction $L_f( s, \chi ) = \sum _{n \ge 1} \chi (n)a_nn^{-s}$ d’une forme parabolique primitive $f = \sum _{n \ge 1} a_nq^n \in S_k(\Gamma _0(N),\psi )$ de poids $k \ge 2$.
LA - fre
KW - Atkin operator; -adic function; modular forms
UR - http://eudml.org/doc/249107
ER -

References

top
  1. [AV] Yvette Amice, JACQUES VÉLU, Distributions p-adiques associées aux séries de Hecke. Astérisque24-25 (1975), 119-131. Zbl0332.14010MR376534
  2. [B-SchP] S. Boecherer, R. Schulze-Pillot, On the central critical value of the triple product L-function. Seminaire de theorie des nombres, Paris (1993-94), Birkhäuser, 1996, 3-46. Zbl0924.11034
  3. [Co] John Coates, On p-adic L-functions. Séminaire Bourbaki, 40ème année, 1987-88, no. 701 (1989), 177-178. Zbl0706.11064MR1040567
  4. [Co-PeRi] John Coates, Bernadette Perrin-Riou, On p-adic L-functions attached to motives over Q. Advanced Studies in Pure Math.17 (1989), 23-54. Zbl0783.11039MR1097608
  5. [Colm98] Pierre Colmez, Fonctions L p-adiques. Séminaire Bourbaki, 51 ème année, 1998-99, no. 851. 
  6. [De-Ri] P. Deligne, K.A. Ribet., Values of Abelian L-functions at negative integers over totally real fields. Invent. Math.59 (1980) 227-286. Zbl0434.12009MR579702
  7. [Jo] Fabienne Jory, Familles de symboles modulaires et fonctions L p-adiques. Thèse de Doctorat, Institut Fourier (Grenoble), 18 décembre 1998. http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/THESE/ps/t92.ps.gz 
  8. [Hi85] Haruzo Hida, A p-adic measure attached to the zeta functions associated with two elliptic cusp forms I. Invent. Math.79 (1985), 159-195. Zbl0573.10020MR774534
  9. [Hi93] Haruzo Hida, Elementary theory of L-functions and Eisenstein series. Cambridge Univ. Press, 1993. Zbl0942.11024MR1216135
  10. [GaHa] Paul B. Garrett, Michael Harris, Special values of triple product L-functions. Am. J. Math.115 (1993), 161-240. Zbl0776.11027MR1209238
  11. [Ka76] N.M. Katz, p-adic interpolation of real analytic Eisenstein series. Ann. of Math.104 (1976), 459-571 Zbl0354.14007MR506271
  12. [Ka78] Katz, N.M., p-adic L-functions for CM-fields. Invent. Math.48 (1978), 199-297. Zbl0417.12003MR513095
  13. [KI] Klingen H., Über die Werte Dedekindscher Zetafunktionen. Math. Ann.145 (1962), 265-272 Zbl0101.03002MR133304
  14. [LBP] Yann-Henri Le Bras, A.A. Panchishikin, Sur les produits triples A-adiques. Communications in Algebra29 no. 9 (2001), 3727-3740. Zbl1012.11042MR1857008
  15. [Ma73] Yu.I. Manin, Periods of cusp forms and p-adic Hecke series. Mat. Sbornik92 (1973), 378-401. Zbl0293.14007MR345909
  16. [Man-Pa] Yu.I. Manin, A.A. Panchishkin, Convolutions of Hecke series and their values at integral points. Mat. Sbornik104 (1977), 617-651. Zbl0392.10028MR476645
  17. [Miy] Toshitsune Miyake, Modular forms. Transl. from the Japanese by Yoshitaka Maeda. Berlin etc. Springer-Verlag. viii, 1989. Zbl1159.11014MR1021004
  18. [MTT] B. Mazur, J. Tate, J. Teitelbaum, On p-adic analogues of the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer. Invent. Math.84 (1986), 1-48. Zbl0699.14028MR830037
  19. [PLNM] A.A. Panchishkin, Non-Archimedean L-functions of Siegel and Hilbert modular forms. Lecture Notes in Math.1471, Springer-Verlag, 2nd augmented edition 2003. 
  20. [PTr] A.A. Panchishkin, Produits triples des formes modulaires et leur interpolation p-adique par la méthode d'Amice-Vélu. Manuscript de l'exposé au Colloque à la mémoire d'Yvette Amice, (mars 1994), 1-27. 
  21. [PIsr] A.A. Panchishkin, On the Siegel-Eisenstein measure. Israel Journal of Mathematics120 (2000), 467-509. Zbl0977.11021MR1809631
  22. [PaTV] A.A. Panchishkin, Two variable p-adic L functions attached to eigenfamilies of positive slope. Inventiones Math.154 no. 3 (2003), 551 -615. Zbl1065.11025MR2018785
  23. [PaB1] A.A. Panchishkin, Arithmetical differential operators on nearly holomorphic Siegel modular forms. Preprint MPI41 (2002), 1-52. 
  24. [PaB1] A.A. Panchishkin, Admissible measures for standard L-functions and nearly holomorphic Siegel modular forms. Preprint MPI42 (2002), 1-65. 
  25. [PIAS] A.A. Panchishkin, On p-adic integration in spaces of modular forms and its applications. J. Math. Sci.New York115 no.3 (2003), 2357-2377. Zbl1040.11034MR1981306
  26. [PNM] A.A. Panchishkin, A new method of constructing p-adic L-functions associated with modular forms. Moscow Mathematical Journal2 (2002), 1-16. Zbl1011.11026
  27. [Ra52] R.A. Rankin, The scalar product of modular forms, Proc. London math. Soc.3 (1952), 198-217. Zbl0049.33904MR49231
  28. [Se73] Jean-Pierre Serre, Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques. Lecture Notes in Math.350 (1973), 191-286. Zbl0277.12014MR404145
  29. [Shi71] Goro Shimura, Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions. Princeton Univ. Press, 1971. Zbl0872.11023MR314766
  30. [Shi77] Goro Shimura, On the periods of modular forms. Math. Annalen229 (1977), 211-221. Zbl0363.10019MR463119
  31. [Vi76] M.M. Višik, Non-archimedean measures connected with Dirichlet series. Math. USSR Sb.28 (1976), 216-228. Zbl0369.14010

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.