Inversion des matrices de Toeplitz dont le symbole admet un zéro d’ordre rationnel positif, valeur propre minimale

Philippe Rambour[1]; Abdellatif Seghier[1]

  • [1] Université de Paris Sud, Bâtiment 425 ; F-91405 Orsay Cedex

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques (2012)

  • Volume: 21, Issue: 1, page 173-211
  • ISSN: 0240-2963

Abstract

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Three results are stated in this paper. The first one is devoted to the study of the orthogonal polynomial with respect of the weight ϕ α ( θ ) = | 1 - e i θ | 2 α f 1 ( e i θ ) , with α > 1 2 and α ∈ ℝ ∖ ℕ , and f 1 a regular function. We obtain an asymptotic expansion of the coefficients of these polynomials, and we deduce an asymptotic of the entries of T N ( ϕ α ) - 1 where T N ( ϕ α ) is the Toeplitz matrix with symbol ϕ α . Then we extend a result of A. Böttcher and H. Widom result related to the minimal eigenvalue of the Toeplitz matrix T N ( ϕ α ) . For N goes to the infinity it is well known that this minimal eigenvalue admits as asymptotic c α N 2 α f 1 ( 1 ) . When α ∈ ℕ the previous authors obtain an asymptotic of c α for α going to the infinity, and they have the bounds of c α for the other cases. Here we obtain the same type of results but for α ∈ ] 1 2 , + ∞ [ ∖ ℕ .

How to cite

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Rambour, Philippe, and Seghier, Abdellatif. "Inversion des matrices de Toeplitz dont le symbole admet un zéro d’ordre rationnel positif, valeur propre minimale." Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques 21.1 (2012): 173-211. <http://eudml.org/doc/250987>.

@article{Rambour2012,
abstract = {Cet article présente trois résultats distincts. Dans une première partie nous donnons l’asymptotique quand $N$ tend vers l’infini des coefficients des polynômes orthogonaux de degré $N$ associés au poids $\varphi _\{\alpha \}(\theta )=\vert 1- e^\{i \theta \} \vert ^\{2\alpha \} f_\{1\}(e^\{i \theta \})$, où $f_\{1\}$ est une fonction strictement positive suffisamment régulière et $\alpha &gt; \frac\{1\}\{2\}, \quad \alpha \in \mathbb\{R\}\setminus \mathbb\{N\}$. Nous en déduisons l’asymptotique des éléments de l’inverse de la matrice de Toeplitz $T_\{N\}(\varphi _\{\alpha \})$ au moyen d’un noyau intégral $G_\{\alpha \}.$ Nous prolongeons ensuite un résultat de A. Böttcher et H. Windom relatif à l’asymptotique de la valeur propre minimale des matrices de Toepliz de symbole $\varphi _\{\alpha \}$. On sait que dans ce cas la plus petite valeur propre de cette matrice admet une asymptotique, quand $N$ tend vers l’infini, de la forme $\frac\{c_\{\alpha \}\}\{N^\{2\alpha \}\} f_\{1\}(1)$. Pour $\alpha \in \mathbb\{N\}^*$ A. Böttcher et H. Windom obtiennent une asymptotique de $c_\{\alpha \}$ quand $\alpha $ tend vers l’infini, et un encadrement de $c_\{\alpha \}$ dans les autres cas. Nous obtenons ici le même type de résultat, mais pour $\alpha \in ]\frac\{1\}\{2\},+\infty [\setminus \mathbb\{N\}$.},
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AB - Cet article présente trois résultats distincts. Dans une première partie nous donnons l’asymptotique quand $N$ tend vers l’infini des coefficients des polynômes orthogonaux de degré $N$ associés au poids $\varphi _{\alpha }(\theta )=\vert 1- e^{i \theta } \vert ^{2\alpha } f_{1}(e^{i \theta })$, où $f_{1}$ est une fonction strictement positive suffisamment régulière et $\alpha &gt; \frac{1}{2}, \quad \alpha \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{N}$. Nous en déduisons l’asymptotique des éléments de l’inverse de la matrice de Toeplitz $T_{N}(\varphi _{\alpha })$ au moyen d’un noyau intégral $G_{\alpha }.$ Nous prolongeons ensuite un résultat de A. Böttcher et H. Windom relatif à l’asymptotique de la valeur propre minimale des matrices de Toepliz de symbole $\varphi _{\alpha }$. On sait que dans ce cas la plus petite valeur propre de cette matrice admet une asymptotique, quand $N$ tend vers l’infini, de la forme $\frac{c_{\alpha }}{N^{2\alpha }} f_{1}(1)$. Pour $\alpha \in \mathbb{N}^*$ A. Böttcher et H. Windom obtiennent une asymptotique de $c_{\alpha }$ quand $\alpha $ tend vers l’infini, et un encadrement de $c_{\alpha }$ dans les autres cas. Nous obtenons ici le même type de résultat, mais pour $\alpha \in ]\frac{1}{2},+\infty [\setminus \mathbb{N}$.
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References

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