Gaps between consecutive primes

Emmanuel Kowalski

Séminaire Bourbaki (2005-2006)

  • Volume: 48, page 177-210
  • ISSN: 0303-1179

Abstract

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The Prime Number Theorem implies that the gap p n + 1 - p n between consecutive prime numbers p n < p n + 1 is, on average of order of magnitude log p n . Recently, D. Goldston, J. Pintz and C. Yıldırım have succeeded in proving that the normalized gap ( p n + 1 - p n ) / log ( p n ) can be arbitrarily small, improving spectacularly the previously known results. Under some assumptions which are considered as likely to be true, they manage to prove that p n + 1 - p n < 16 infinitely often. Their method is a beautiful application of ideas inspired by sieve methods, and it seems to offer many possibilities for further developments.

How to cite

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Kowalski, Emmanuel. "Écarts entre nombres premiers successifs." Séminaire Bourbaki 48 (2005-2006): 177-210. <http://eudml.org/doc/252179>.

@article{Kowalski2005-2006,
abstract = {Le théorème des nombres premiers dit que la distance entre deux nombres premiers consécutifs $p_n&lt;p_\{n+1\}$ est, en moyenne, de l’ordre de $\ln (p_n)$. Récemment, D. Goldston, J. Pintz et C. Yıldırım sont parvenus à démontrer que la distance normalisée $(p_\{n+1\}-p_n)/\ln (p_n)$ pouvait devenir arbitrairement petite, améliorant spectaculairement les résultats connus auparavant. Sous des hypothèses considérées comme raisonnables, ils parviennent à montrer que $p_\{n+1\}-p_n&lt;16$ infiniment souvent. Leur méthode est une très jolie application d’idées inspirée par les méthodes de crible, et elle semble offrir de nombreuses possibilités de développement.},
author = {Kowalski, Emmanuel},
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keywords = {distribution of prime numbers; primes in arithmetic progressions; gaps between primes; sieve methods},
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LA - fre
KW - distribution of prime numbers; primes in arithmetic progressions; gaps between primes; sieve methods
UR - http://eudml.org/doc/252179
ER -

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