Properties $\left(𝐐\right)$ and $\left(𝐂\right)$. Commuting variety

Charbonnel, Jean-Yves. "Propriétés (Q) et (C). Variété commutante." Bulletin de la Société Mathématique de France 132.4 (2004): 477-508. <http://eudml.org/doc/272496>.

@article{Charbonnel2004,
abstract = {Soient $X$ une variété algébrique complexe, lisse, irréductible, $E$ et $F$ deux espaces vectoriels complexes de dimension finie et $\mu $ un morphisme de $X$ dans l’espace Lin$(E,F)$ des applications linéaires de $E$ dans $F$. Pour $x\in X$, on note $E(x)$ et $x\cdot E$ le noyau et l’image de $\mu (x)$, $\overline\{\!\mu \}_\{x\}$ le morphisme de $X$ dans Lin$(E(x),F/(x\cdot E))$ qui associe à $y$ l’application linéaire $v\mapsto \mu (y)(v)+x\cdot E$. Soit i$\{\hspace\{0.55542pt\}\}_\{\mu \}$ la dimension minimale de $E(x)$. On dit que $\mu $ ala propriété $(\{\bf R\})$ en $x$si i$\{\hspace\{1.66656pt\}\}_\{\overline\{\!\mu \}_\{x\}\}$ est inférieur à i$\{\hspace\{0.55542pt\}\}_\{\mu \}$. Soient $F^\{*\}$ le dual de $F$, S$(F)$ l’algèbre symétrique de $F$, $\{\mathcal \{I\}\}_\{\mu \}$ l’idéal de $\{\mathcal \{O\}\}_\{X\}\otimes _\{\mathbb \{C\}\}\{\rm S\}(F)$ engendré par les fonctions $(x,v^\{\prime \}) \mapsto \langle \{v^\{\prime \}\},\{\mu (x)(v)\}\rangle $ où $v$ est dans $E$ et $\{\mathfrak \{C\}\}_\{\mu \}$ la sous-variété des zéros dans $X\times F^\{*\}$ de $\{\mathcal \{I\}\}_\{\mu \}$. Désignant par $\sqrt\{\{\mathcal \{I\}\}_\{\mu \}\}$ le radical de $\{\mathcal \{I\}\}_\{\mu \}$, par $\Sigma $ le support de $\sqrt\{\{\mathcal \{I\}\}_\{\mu \}\}/\{\mathcal \{I\}\}_\{\mu \}$ dans $X\times F^\{*\}$ et par $S$ la projection de $\Sigma $ sur $X$, le premier résultat principal de ce mémoire dit que sous deux conditions techniques sur $\mu $, $S$ est une partie fermée de $X$ dont la codimension est supérieure à $2$ si et seulement si l’adhérence de l’ensemble des points de $X$ en lesquels $\mu $ n’a pas la propriété $(\{\bf R\})$, a une codimension supérieure à $2$. Soit $\{\mathfrak \{g\}\}$ une algèbre de Lie. On dit que $\{\mathfrak \{g\}\}$ a lapropriété $(\{\bf C\})$ en l’élément $\xi $ de $\{\mathfrak \{g\}\}$si l’application adjointe de $\{\mathfrak \{g\}\}$ dans l’espace des endomorphismes linéaires de $\{\mathfrak \{g\}\}$ a la propriété (R) en $\xi $ et que $\{\mathfrak \{g\}\}$ a lapropriété $(\{\bf Q\})$ en l’élément $v^\{\prime \}$ de $\{\mathfrak \{g\}\}^\{*\}$si l’application coadjointe de $\{\mathfrak \{g\}\}^\{*\}$ dans $\mathrm \{Lin\}(\{\mathfrak \{g\}\},\{\mathfrak \{g\}\}^\{*\})$ a la propriété (R) en $v^\{\prime \}$. L’algèbre $\{\mathfrak \{g\}\}$ a la propriété (Q) en $v^\{\prime \}$ si et seulement si l’indice du stabilisateur $\{\mathfrak \{g\}\}(v^\{\prime \})$ de $v^\{\prime \}$ est égal à l’indice de $\{\mathfrak \{g\}\}$. Le deuxième résultat principal dit qu’une algèbre de Lie réductive a la propriété (Q) en tout point de $\{\mathfrak \{g\}\}^\{*\}$.},
author = {Charbonnel, Jean-Yves},
journal = {Bulletin de la Société Mathématique de France},
keywords = {index; Lie algebra; linear endomorphism; codimension; algebraic variety},
language = {fre},
number = {4},
pages = {477-508},
publisher = {Société mathématique de France},
title = {Propriétés (Q) et (C). Variété commutante},
url = {http://eudml.org/doc/272496},
volume = {132},
year = {2004},
}

TY - JOUR
AU - Charbonnel, Jean-Yves
TI - Propriétés (Q) et (C). Variété commutante
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2004
PB - Société mathématique de France
VL - 132
IS - 4
SP - 477
EP - 508
AB - Soient $X$ une variété algébrique complexe, lisse, irréductible, $E$ et $F$ deux espaces vectoriels complexes de dimension finie et $\mu $ un morphisme de $X$ dans l’espace Lin$(E,F)$ des applications linéaires de $E$ dans $F$. Pour $x\in X$, on note $E(x)$ et $x\cdot E$ le noyau et l’image de $\mu (x)$, $\overline{\!\mu }_{x}$ le morphisme de $X$ dans Lin$(E(x),F/(x\cdot E))$ qui associe à $y$ l’application linéaire $v\mapsto \mu (y)(v)+x\cdot E$. Soit i${\hspace{0.55542pt}}_{\mu }$ la dimension minimale de $E(x)$. On dit que $\mu $ ala propriété $({\bf R})$ en $x$si i${\hspace{1.66656pt}}_{\overline{\!\mu }_{x}}$ est inférieur à i${\hspace{0.55542pt}}_{\mu }$. Soient $F^{*}$ le dual de $F$, S$(F)$ l’algèbre symétrique de $F$, ${\mathcal {I}}_{\mu }$ l’idéal de ${\mathcal {O}}_{X}\otimes _{\mathbb {C}}{\rm S}(F)$ engendré par les fonctions $(x,v^{\prime }) \mapsto \langle {v^{\prime }},{\mu (x)(v)}\rangle $ où $v$ est dans $E$ et ${\mathfrak {C}}_{\mu }$ la sous-variété des zéros dans $X\times F^{*}$ de ${\mathcal {I}}_{\mu }$. Désignant par $\sqrt{{\mathcal {I}}_{\mu }}$ le radical de ${\mathcal {I}}_{\mu }$, par $\Sigma $ le support de $\sqrt{{\mathcal {I}}_{\mu }}/{\mathcal {I}}_{\mu }$ dans $X\times F^{*}$ et par $S$ la projection de $\Sigma $ sur $X$, le premier résultat principal de ce mémoire dit que sous deux conditions techniques sur $\mu $, $S$ est une partie fermée de $X$ dont la codimension est supérieure à $2$ si et seulement si l’adhérence de l’ensemble des points de $X$ en lesquels $\mu $ n’a pas la propriété $({\bf R})$, a une codimension supérieure à $2$. Soit ${\mathfrak {g}}$ une algèbre de Lie. On dit que ${\mathfrak {g}}$ a lapropriété $({\bf C})$ en l’élément $\xi $ de ${\mathfrak {g}}$si l’application adjointe de ${\mathfrak {g}}$ dans l’espace des endomorphismes linéaires de ${\mathfrak {g}}$ a la propriété (R) en $\xi $ et que ${\mathfrak {g}}$ a lapropriété $({\bf Q})$ en l’élément $v^{\prime }$ de ${\mathfrak {g}}^{*}$si l’application coadjointe de ${\mathfrak {g}}^{*}$ dans $\mathrm {Lin}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}^{*})$ a la propriété (R) en $v^{\prime }$. L’algèbre ${\mathfrak {g}}$ a la propriété (Q) en $v^{\prime }$ si et seulement si l’indice du stabilisateur ${\mathfrak {g}}(v^{\prime })$ de $v^{\prime }$ est égal à l’indice de ${\mathfrak {g}}$. Le deuxième résultat principal dit qu’une algèbre de Lie réductive a la propriété (Q) en tout point de ${\mathfrak {g}}^{*}$.
LA - fre
KW - index; Lie algebra; linear endomorphism; codimension; algebraic variety
UR - http://eudml.org/doc/272496
ER -