Perturbation singulière en dimension trois : canards en un point pseudo-singulier nœud

are studied. At this point, the fast flow (vertical) is tranverse to the slow surface. The Tikhonov’s theorem can be applied here. In other papers, fold points and cusps of the slow surface were studied. The list of generic singularities contains also the pseudo-singular points which are connected to the turning points in lower dimension. They are (generically) saddle, focus or node. In the neighborhood of focus points, nothing happens, the saddle were studied in their papers, but the node points were never studied in the litterature. In this paper, whe prove that generally, there exist two overstable (i.e. regular with respect

ε

) solutions. When the ratio between two eigenvalues is an integer, a resonance appears, and one of the two overstable solutions disappears. Technically, we transform first the system into a more canonical equation. After that, we prove the existence of formal solutions, and, using the implicit function theorme on Banach spaces of Gevrey series, we can prove that the formal solution is Gevrey. The theory of summation of Gevrey series gives the over-stable solutions.

How to cite

top

Benoît, Éric. "Perturbation singulière en dimension trois : canards en un point pseudo-singulier nœud." Bulletin de la Société Mathématique de France 129.1 (2001): 91-113. <http://eudml.org/doc/272355>.

@article{Benoît2001,
abstract = {On étudie les systèmes différentiels singulièrement perturbés de dimension 3 du type\[ \Bigg \lbrace \begin\{array\}\{lcl\} \dot\{x\} &=&\{f(x,y,z,\varepsilon )\},\\ \dot\{y\} &=&\{g(x,y,z,\varepsilon )\},\\ \varepsilon \dot\{z\} &=&\{h(x,y,z,\varepsilon )\}, \end\{array\} \]où $f$, $g$, $h$ sont analytiques quelconques. Les travaux antérieurs étudiaient les points réguliers où la surface lente $h=0$ est transverse au champ rapide vertical. C’est le domaine d’application du théorème de Tikhonov. Dans d’autres travaux antérieurs, on étudiait les singularités de certains types : plis et fronces de la surface lente, ainsi que certaines singularités plus compliquées, analogues aux points tournants en dimension inférieure : les points pseudo-singuliers cols. Génériquement, les seules singularités génériques non encore étudiées dans la littérature sont les points pseudo-singuliers nœuds. Dans cet article, on étudie les points pseudo-singuliers nœuds où on montre l’existence d’une ou deux solutions surstables (c’est-à-dire assez régulières en $\varepsilon $). Quand le rapport de deux valeurs propres est entier, un phénomène nouveau et intéressant apparaît : la résonance. Techniquement, on se ramène d’abord à une forme plus canonique, puis on montre l’existence de solutions formelles, en utilisant le théorème des fonctions implicites sur un opérateur entre espaces de Banach de séries Gevrey. Les séries obtenues sont alors Gevrey, et les théories de sommation de ces séries donnent les solutions surstables recherchées.},
author = {Benoît, Éric},
journal = {Bulletin de la Société Mathématique de France},
keywords = {ordinay differential equation; singular perturbation; turning point; Gevrey series; overstable solution; canard},
language = {fre},
number = {1},
pages = {91-113},
publisher = {Société mathématique de France},
title = {Perturbation singulière en dimension trois : canards en un point pseudo-singulier nœud},
url = {http://eudml.org/doc/272355},
volume = {129},
year = {2001},
}

TY - JOUR
AU - Benoît, Éric
TI - Perturbation singulière en dimension trois : canards en un point pseudo-singulier nœud
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2001
PB - Société mathématique de France
VL - 129
IS - 1
SP - 91
EP - 113
AB - On étudie les systèmes différentiels singulièrement perturbés de dimension 3 du type\[ \Bigg \lbrace \begin{array}{lcl} \dot{x} &=&{f(x,y,z,\varepsilon )},\\ \dot{y} &=&{g(x,y,z,\varepsilon )},\\ \varepsilon \dot{z} &=&{h(x,y,z,\varepsilon )}, \end{array} \]où $f$, $g$, $h$ sont analytiques quelconques. Les travaux antérieurs étudiaient les points réguliers où la surface lente $h=0$ est transverse au champ rapide vertical. C’est le domaine d’application du théorème de Tikhonov. Dans d’autres travaux antérieurs, on étudiait les singularités de certains types : plis et fronces de la surface lente, ainsi que certaines singularités plus compliquées, analogues aux points tournants en dimension inférieure : les points pseudo-singuliers cols. Génériquement, les seules singularités génériques non encore étudiées dans la littérature sont les points pseudo-singuliers nœuds. Dans cet article, on étudie les points pseudo-singuliers nœuds où on montre l’existence d’une ou deux solutions surstables (c’est-à-dire assez régulières en $\varepsilon $). Quand le rapport de deux valeurs propres est entier, un phénomène nouveau et intéressant apparaît : la résonance. Techniquement, on se ramène d’abord à une forme plus canonique, puis on montre l’existence de solutions formelles, en utilisant le théorème des fonctions implicites sur un opérateur entre espaces de Banach de séries Gevrey. Les séries obtenues sont alors Gevrey, et les théories de sommation de ces séries donnent les solutions surstables recherchées.
LA - fre
KW - ordinay differential equation; singular perturbation; turning point; Gevrey series; overstable solution; canard
UR - http://eudml.org/doc/272355
ER -

References

top

[1] V. Arnolʼd – Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires, “Mir”, Moscow, 1980, Translated from the Russian by Djilali Embarek. Zbl0956.34502 MR626685
[2] É. Benoît – « Canards et enlacements », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1990), no. 72, p. 63–91 (1991). Zbl0737.34018 MR1087393
[3] É. Benoît – « Systèmes lents-rapides dans $ℝ^{3}$ et leurs canards », Third Schnepfenried geometry conference, Vol. 2 (Schnepfenried, 1982), Astérisque, vol. 109, Soc. Math. France, Paris, 1983, p. 159–191. Zbl0529.34037 MR753147
[4] —, « Canards de $ℝ^{3}$ », Thèse, Université de Nice, 1984.
[5] É. Benoît & J.-L. Callot – « Chasse au canard. », Collect. Math. 32 (1981), no. 2, p. 37–119. Zbl0529.34046 MR653889
[6] É. Benoît, A. Fruchard, R. Schäfke & G. Wallet – « Solutions surstables des équations différentielles complexes lentes-rapides à point tournant », Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 7 (1998), no. 4, p. 627–658. Zbl0981.34084 MR1693589
[7] M. Canalis-Durand, J. P. Ramis, R. Schäfke & Y. Sibuya – « Gevrey solutions of singularly perturbed differential equations », J. Reine Angew. Math.518 (2000), p. 95–129. Zbl0937.34075 MR1739408
[8] C. K. R. T. Jones – « Geometric singular perturbation theory », Dynamical systems (Montecatini Terme, 1994), Lecture Notes in Math., vol. 1609, Springer, Berlin, 1995, p. 44–118. Zbl0840.58040 MR1374108
[9] C. H. Lin – « The sufficiency of the Matkowsky condition in the problem of resonance », Trans. Amer. Math. Soc. 278 (1983), no. 2, p. 647–670. Zbl0513.34055 MR701516
[10] C. Lobry, T. Sari & S. Touhami – « On Tykhonov’s theorem for convergence of solutions of slow and fast systems », Electron. J. Differential Equations (1998), p. No. 19, 22 pp. (electronic). Zbl0897.34052 MR1631397
[11] B. Malgrange & J.-P. Ramis – « Fonctions multisommables », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 42 (1992), no. 1-2, p. 353–368. Zbl0759.34007 MR1162566
[12] B. Malgrange – « Sur le théorème de Maillet », Asymptotic Anal. 2 (1989), no. 1, p. 1–4. Zbl0693.34004 MR991413
[13] F. Takens – « Constrained equations ; a study of implicit differential equations and their discontinuous solutions », Structural Stability, the theory of catastrophes and applications in the sciences, Lecture Notes in Math., vol. 525, Springer Verlag, 1976. Zbl0386.34003 MR478236
[14] W. Wasow – Linear turning point theory, Applied Mathematical Sciences, vol. 54, Springer-Verlag, New York, 1985. Zbl0558.34049 MR771669
[15] M. Wechselberger – « Singularly perturbed folds and canards in $ℝ^{3}$ », Thèse, Universität Wien, 1998.

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.