Equivariant cohomology and K-theory of Bott-Samelson varieties and flag varieties

Matthieu Willems

Bulletin de la Société Mathématique de France (2004)

  • Volume: 132, Issue: 4, page 569-589
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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The aim of this text is to compute the equivariant cohomology and K-theory of Bott-Samelson varieties (theorem 3.3 and 4.3) and to deduce results about flag varieties of Kac-Moody groups. In section 3, we give a new proof of the formula for the restriction to fixed points of the basis { ξ ^ w } w ∈ W of H T * ( G / B ) (theorem 3.9) proved by Sara Billey in [4]. In section 4, we give an explicit formula for the restriction to fixed points of the basis { ψ ^ w } w ∈ W of K T ( G / B ) defined by Kostant and Kumar in [13] (theorem 4.7). In the finite case, we describe how the basis { * [ 𝒪 X ¯ w ] } w ∈ W transforms with respect to the basis { ψ ^ w } w ∈ W (theorem 4.11).

How to cite

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Willems, Matthieu. "Cohomologie et K-théorie équivariantes des variétés de Bott-Samelson et des variétés de drapeaux." Bulletin de la Société Mathématique de France 132.4 (2004): 569-589. <http://eudml.org/doc/272382>.

@article{Willems2004,
abstract = {L’objet de cet article est de calculer la cohomologie et la K-théorie équivariantes des variétés de Bott-Samelson (théorèmes 3.3 et 4.3) et d’en déduire des résultats sur les variétés de drapeaux des groupes de Kac-Moody. Dans la section 3, on retrouve la formule de restriction aux points fixes de la base $\lbrace \widehat\{\xi \}^\{w\}\rbrace _\{w\in W\}$ de $H_\{T\}^\{*\}(G/B)$ (théorème 3.9) prouvée par Sara Billey dans [4]. Dans la section 4, on donne l’expression explicite de la restriction aux points fixes de la base $\lbrace \widehat\{\psi \}^\{w\}\rbrace _\{w \in W\}$ de $K_T(G/B)$ définie par Kostant et Kumar dans [13] (théorème 4.7). Dans le cas fini, cette étude nous permet également de calculer la matrice de changement de bases entre $\lbrace \widehat\{\psi \}^\{w\}\rbrace _\{w \in W\}$ et $\lbrace *[\mathcal \{O\}_\{\, \overline\{\!X\}_\{w\}\}]\rbrace _\{w \in W\}$ (théorème 4.11).},
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TY - JOUR
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ER -

References

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  1. [1] A. Arabia – « Cohomologie T-équivariante de la variété de drapeaux d’un groupe de Kac-Moody », Bull. Soc. Math. France117 (1989), p. 129–165. Zbl0706.57024MR1015806
  2. [2] M. Atiyah & R. Bott – « A Lefschetz fixed-point formula for elliptic complexes I », Ann. of Math.86 (1967), p. 347–407. Zbl0161.43201MR212836
  3. [3] N. Berline & M. Vergne – « Classes caractéristiques équivariantes. Formules de localisation en cohomologie équivariante », C.R. Acad. Sci. Paris295 (1982), p. 539–541. Zbl0521.57020MR685019
  4. [4] S. Billey – « Kostant polynomials and the cohomology of G/B », Duke Math. J.96 (1999), p. 205–224. Zbl0980.22018MR1663931
  5. [5] R. Bott & H. Samelson – « Applications of the theory of Morse to symmetric spaces », Amer. J. Math.70 (1958), p. 964–1028. Zbl0101.39702MR105694
  6. [6] N. Bourbaki – Groupes et algèbres de Lie, chap. 4–6, Hermann, Paris, 1968. Zbl0483.22001MR240238
  7. [7] N. Chriss & V. Ginzburg – Representation Theory and Complex Geometry, Birkhäuser, 1997. Zbl0879.22001MR1433132
  8. [8] S. Fomin & A. Kirillov – « Universal exponential solution of the Yang-Baxter equation », Lett. Math. Phys.37 (1996), p. 273–284. Zbl0867.17009MR1392586
  9. [9] W. Graham – « Equivariant K-theory and Schubert varieties », Preprint, 2002. 
  10. [10] H. Hansen – « On cycles in flag manifolds », Math. Scand.33 (1973), p. 269–274. Zbl0301.14019MR376703
  11. [11] V. Kac – Infinite dimensional Lie algebras, Cambridge University Press, 1985. Zbl0574.17010MR823672
  12. [12] V. Kac & D. Peterson – « Regular functions on certain infinite dimensional groups », Arithmetic and Geometry-II, Birkhäuser, 1983, p. 141–166. Zbl0578.17014MR717610
  13. [13] B. Kostant & S. Kumar – « T-equivariant K-theory of generalized flag varieties », J. Diff. Geom.32 (1990), p. 549–603. Zbl0731.55005MR1072919
  14. [14] S. Kumar – « The nil-Hecke ring and singularities of Schubert varieties », Invent. Math.123 (1996), p. 471–506. Zbl0863.14031MR1383959
  15. [15] —, Kac Moody Groups, their Flag Varieties and Representation Theory, Progress in Mathematics, vol. 204, Birkhäuser, 2002. Zbl1026.17030MR1923198
  16. [16] A. Lascoux, B. Leclerc & J.-Y. Thibon – « Flag varieties and the Yang-Baxter equation », Lett. Math. Phys.40 (1997), p. 75–90. Zbl0918.17013MR1445968

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