A new proof of a theorem by Yuan and Hunt

Thierry Bousch

Bulletin de la Société Mathématique de France (2008)

  • Volume: 136, Issue: 2, page 227-242
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

top
A theorem of Guo-Cheng Yuan Brian R. Hunt states that, for μ an invariant probability measure of some hyperbolic dynamical system T : X X , the Lipschitz continuous functions X for which μ is minimizing have non-empty interior (for the Lipschitz topology) if and only if μ is a periodic orbit of T . I will give a new proof of this theorem, or rather of an essentially equivalent statement. I will also discuss the stability of minimizing periodic orbits with a large period.

How to cite

top

Bousch, Thierry. "Nouvelle preuve d’un théorème de Yuan et Hunt." Bulletin de la Société Mathématique de France 136.2 (2008): 227-242. <http://eudml.org/doc/272387>.

@article{Bousch2008,
abstract = {Un théorème de Guo-Cheng Yuan Brian R. Hunt affirme que, pour $\mu $ mesure de probabilité invariante d’un système dynamique hyperbolique $T:X\rightarrow X$, les fonctions lipschitziennes $X\rightarrow \mathbb \{R\}$ pour lesquelles $\mu $ est minimisante ont un intérieur non vide (en topologie de Lipschitz) si et seulement si $\mu $ est une orbite périodique de $T$. Je donnerai une nouvelle preuve de ce théorème, ou plutôt d’un énoncé essentiellement équivalent. Je discuterai aussi de la stabilité des orbites périodiques minimisantes de grande période.},
author = {Bousch, Thierry},
journal = {Bulletin de la Société Mathématique de France},
keywords = {minimizing measures; lipschitzian coboundaries},
language = {fre},
number = {2},
pages = {227-242},
publisher = {Société mathématique de France},
title = {Nouvelle preuve d’un théorème de Yuan et Hunt},
url = {http://eudml.org/doc/272387},
volume = {136},
year = {2008},
}

TY - JOUR
AU - Bousch, Thierry
TI - Nouvelle preuve d’un théorème de Yuan et Hunt
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2008
PB - Société mathématique de France
VL - 136
IS - 2
SP - 227
EP - 242
AB - Un théorème de Guo-Cheng Yuan Brian R. Hunt affirme que, pour $\mu $ mesure de probabilité invariante d’un système dynamique hyperbolique $T:X\rightarrow X$, les fonctions lipschitziennes $X\rightarrow \mathbb {R}$ pour lesquelles $\mu $ est minimisante ont un intérieur non vide (en topologie de Lipschitz) si et seulement si $\mu $ est une orbite périodique de $T$. Je donnerai une nouvelle preuve de ce théorème, ou plutôt d’un énoncé essentiellement équivalent. Je discuterai aussi de la stabilité des orbites périodiques minimisantes de grande période.
LA - fre
KW - minimizing measures; lipschitzian coboundaries
UR - http://eudml.org/doc/272387
ER -

References

top
  1. [1] A. D. Barbour, L. Holst & S. Janson – Poisson approximation, Oxford Studies in Probability, vol. 2, The Clarendon Press Oxford University Press, 1992, Oxford Science Publications. Zbl0746.60002MR1163825
  2. [2] T. Bousch – « Le poisson n’a pas d’arêtes », Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist.36 (2000), p. 489–508. Zbl0971.37001MR1785392
  3. [3] —, « La condition de Walters », Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 34 (2001), p. 287–311. Zbl0988.37036MR1841880
  4. [4] T. Bousch & J. Mairesse – « Asymptotic height optimization for topical IFS, Tetris heaps, and the finiteness conjecture », J. Amer. Math. Soc.15 (2002), p. 77–111. Zbl1057.49007MR1862798
  5. [5] G. Contreras, A. O. Lopes & P. Thieullen – « Lyapunov minimizing measures for expanding maps of the circle », Ergodic Theory Dynam. Systems21 (2001), p. 1379–1409. Zbl0997.37016MR1855838
  6. [6] J.-P. Conze & Y. Guivarc’h – « Croissance des sommes ergodiques et principe variationnel », manuscrit, 1993. 
  7. [7] A. Leizarowitz – « Infinite horizon autonomous systems with unbounded cost », Appl. Math. Optim.13 (1985), p. 19–43. Zbl0591.93039MR778419
  8. [8] A. O. Lopes & P. Thieullen – « Sub-actions for Anosov diffeomorphisms », Astérisque 287 (2003), p. 135–146, Geometric methods in dynamics. II. Zbl1045.37010MR2040005
  9. [9] S. T. Rachev – Probability metrics and the stability of stochastic models, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics : Applied Probability and Statistics, John Wiley & Sons Ltd., 1991. Zbl0744.60004MR1105086
  10. [10] L. Rüschendorf – Wasserstein-metric, Encyclopaedia of Mathematics, Supplement I, II, III, Kluwer Academic Publishers, 1998, http://www.stochastik.uni-freiburg.de/~rueschendorf/papers/wasserstein.pdf. 
  11. [11] S. V. Savchenko – « Homological inequalities for finite topological Markov chains », Funktsional. Anal. i Prilozhen.33 (1999), p. 91–93. Zbl0995.37001MR1724277
  12. [12] G. Yuan & B. R. Hunt – « Optimal orbits of hyperbolic systems », Nonlinearity12 (1999), p. 1207–1224. Zbl0951.37006MR1709845

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.