Results on the strange duality conjecture on the projective plane

Gentiana Danila

Bulletin de la Société Mathématique de France (2002)

  • Volume: 130, Issue: 1, page 1-33
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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Le Potier’s ‘Strange Duality’ conjecture gives an isomorphism between the space of sections of the determinant bundle on two different moduli spaces of semi-stable sheaves on the complex projective plane ℙ 2 . We consider two orthogonal classes c , u in the Grothendieck algebra K ( ℙ 2 ) such that c is of positive rank and u of rank zero, and we call M c and M u the moduli spaces of semi-stable sheaves of class c , respectively u on ℙ 2 . There exists on M c (resp. M u ) a determinant bundle 𝒟 u (resp. 𝒟 c ) and the product fibre bundle 𝒟 c ⊠ 𝒟 c on the product space M c ⊠ M c has a canonical section σ c , u which provides a linear application 𝒟 c , u : H 0 ( M u , 𝒟 c ) * → H 0 ( M c , 𝒟 u ) . If M c is not empty, 𝒟 c , u is conjectured to be an isomorphism. We prove the conjecture in the particular case where c is of rank 2 , zero first Chern class and second Chern class c 2 ( c ) ≤ 5 , and u is of degree d ( u ) ≤ 3 and zero Euler-Poincaré characteristic. In addition we give the generating series P ( t ) = ∑ k ≥ 0 t k h 0 ( M c , 𝒟 u ⊗ k ) for c 2 ( c ) = 3 , c 2 ( c ) = 4 , d ( u ) = 1 , for the particular classes c and u considered above.

How to cite

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Danila, Gentiana. "Résultats sur la conjecture de dualité étrange sur le plan projectif." Bulletin de la Société Mathématique de France 130.1 (2002): 1-33. <http://eudml.org/doc/272392>.

@article{Danila2002,
abstract = {La conjecture de « dualité étrange » de Le Potier donne un isomorphisme entre l’espace des sections du fibré déterminant sur deux espaces de modules différents de faisceaux semi-stables sur le plan projectif $\mathbb \{P\}_2$. On considère deux classes orthogonales $c,u$ dans l’algèbre de Grothendieck $\{\rm K\}(\mathbb \{P\}_2)$ telles que $c$ est de rang strictement positif et $u$ est de rang zéro, et on note $\{\rm M\}_c$ et $\{\rm M\}_u$ les espaces de modules de faisceaux semi-stables de classe $c$, respectivement $u$ sur $\mathbb \{P\}_2$. Il existe sur $\{\rm M\}_c$ (resp. $\{\rm M\}_u$) un fibré déterminant inversible $\mathcal \{D\}_u$ (resp. $\mathcal \{D\}_c$) et le produit tensoriel externe $\mathcal \{D\}_c\boxtimes \mathcal \{D\}_c$ sur l’espace produit $\{\rm M\}_c\boxtimes \{\rm M\}_c$ a une section canonique $\sigma _\{c,u\}$ qui fournit une application linéaire $\mathcal \{D\}_\{c,u\}:\{\rm H\}^0(\{\rm M\}_u,\mathcal \{D\}_c)^*\rightarrow \{\rm H\}^0(\{\rm M\}_c,\mathcal \{D\}_u)$. Si $\{\rm M\}_c$ n’est pas vide, la conjecture affirme que $\mathcal \{D\}_\{c,u\}$ est un isomorphisme. Nous prouvons la conjecture dans le cas particulier où $c$ est de rang $2$, première classe de Chern nulle et deuxième classe de Chern $c_2(c)=n\le 5$, et $u$ est de degré $d(u)\le 3$ et caractéristique d’Euler-Poincaré nulle. Nous donnons la série génératrice $P(t)=\sum _\{k\ge 0\}t^kh^0(\{\rm M\}_c,\mathcal \{D\}_u^\{\otimes k\})$ pour $c_2(c)=3$, $c_2(c)=4$, $d(u)=1$, pour les classes $c$ et $u$ considérées ci-dessus.},
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ER -

References

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