Results on the strange duality conjecture on the projective plane

Gentiana Danila

Bulletin de la Société Mathématique de France (2002)

  • Volume: 130, Issue: 1, page 1-33
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

top
Le Potier’s ‘Strange Duality’ conjecture gives an isomorphism between the space of sections of the determinant bundle on two different moduli spaces of semi-stable sheaves on the complex projective plane ℙ 2 . We consider two orthogonal classes c , u in the Grothendieck algebra K ( ℙ 2 ) such that c is of positive rank and u of rank zero, and we call M c and M u the moduli spaces of semi-stable sheaves of class c , respectively u on ℙ 2 . There exists on M c (resp. M u ) a determinant bundle 𝒟 u (resp. 𝒟 c ) and the product fibre bundle 𝒟 c ⊠ 𝒟 c on the product space M c ⊠ M c has a canonical section σ c , u which provides a linear application 𝒟 c , u : H 0 ( M u , 𝒟 c ) * → H 0 ( M c , 𝒟 u ) . If M c is not empty, 𝒟 c , u is conjectured to be an isomorphism. We prove the conjecture in the particular case where c is of rank 2 , zero first Chern class and second Chern class c 2 ( c ) ≤ 5 , and u is of degree d ( u ) ≤ 3 and zero Euler-Poincaré characteristic. In addition we give the generating series P ( t ) = ∑ k ≥ 0 t k h 0 ( M c , 𝒟 u ⊗ k ) for c 2 ( c ) = 3 , c 2 ( c ) = 4 , d ( u ) = 1 , for the particular classes c and u considered above.

How to cite

top

Danila, Gentiana. "Résultats sur la conjecture de dualité étrange sur le plan projectif." Bulletin de la Société Mathématique de France 130.1 (2002): 1-33. <http://eudml.org/doc/272392>.

@article{Danila2002,
abstract = {La conjecture de « dualité étrange » de Le Potier donne un isomorphisme entre l’espace des sections du fibré déterminant sur deux espaces de modules différents de faisceaux semi-stables sur le plan projectif $\mathbb \{P\}_2$. On considère deux classes orthogonales $c,u$ dans l’algèbre de Grothendieck $\{\rm K\}(\mathbb \{P\}_2)$ telles que $c$ est de rang strictement positif et $u$ est de rang zéro, et on note $\{\rm M\}_c$ et $\{\rm M\}_u$ les espaces de modules de faisceaux semi-stables de classe $c$, respectivement $u$ sur $\mathbb \{P\}_2$. Il existe sur $\{\rm M\}_c$ (resp. $\{\rm M\}_u$) un fibré déterminant inversible $\mathcal \{D\}_u$ (resp. $\mathcal \{D\}_c$) et le produit tensoriel externe $\mathcal \{D\}_c\boxtimes \mathcal \{D\}_c$ sur l’espace produit $\{\rm M\}_c\boxtimes \{\rm M\}_c$ a une section canonique $\sigma _\{c,u\}$ qui fournit une application linéaire $\mathcal \{D\}_\{c,u\}:\{\rm H\}^0(\{\rm M\}_u,\mathcal \{D\}_c)^*\rightarrow \{\rm H\}^0(\{\rm M\}_c,\mathcal \{D\}_u)$. Si $\{\rm M\}_c$ n’est pas vide, la conjecture affirme que $\mathcal \{D\}_\{c,u\}$ est un isomorphisme. Nous prouvons la conjecture dans le cas particulier où $c$ est de rang $2$, première classe de Chern nulle et deuxième classe de Chern $c_2(c)=n\le 5$, et $u$ est de degré $d(u)\le 3$ et caractéristique d’Euler-Poincaré nulle. Nous donnons la série génératrice $P(t)=\sum _\{k\ge 0\}t^kh^0(\{\rm M\}_c,\mathcal \{D\}_u^\{\otimes k\})$ pour $c_2(c)=3$, $c_2(c)=4$, $d(u)=1$, pour les classes $c$ et $u$ considérées ci-dessus.},
author = {Danila, Gentiana},
journal = {Bulletin de la Société Mathématique de France},
keywords = {moduli spaces; determinant bundle; strange duality; generating series},
language = {fre},
number = {1},
pages = {1-33},
publisher = {Société mathématique de France},
title = {Résultats sur la conjecture de dualité étrange sur le plan projectif},
url = {http://eudml.org/doc/272392},
volume = {130},
year = {2002},
}

TY - JOUR
AU - Danila, Gentiana
TI - Résultats sur la conjecture de dualité étrange sur le plan projectif
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2002
PB - Société mathématique de France
VL - 130
IS - 1
SP - 1
EP - 33
AB - La conjecture de « dualité étrange » de Le Potier donne un isomorphisme entre l’espace des sections du fibré déterminant sur deux espaces de modules différents de faisceaux semi-stables sur le plan projectif $\mathbb {P}_2$. On considère deux classes orthogonales $c,u$ dans l’algèbre de Grothendieck ${\rm K}(\mathbb {P}_2)$ telles que $c$ est de rang strictement positif et $u$ est de rang zéro, et on note ${\rm M}_c$ et ${\rm M}_u$ les espaces de modules de faisceaux semi-stables de classe $c$, respectivement $u$ sur $\mathbb {P}_2$. Il existe sur ${\rm M}_c$ (resp. ${\rm M}_u$) un fibré déterminant inversible $\mathcal {D}_u$ (resp. $\mathcal {D}_c$) et le produit tensoriel externe $\mathcal {D}_c\boxtimes \mathcal {D}_c$ sur l’espace produit ${\rm M}_c\boxtimes {\rm M}_c$ a une section canonique $\sigma _{c,u}$ qui fournit une application linéaire $\mathcal {D}_{c,u}:{\rm H}^0({\rm M}_u,\mathcal {D}_c)^*\rightarrow {\rm H}^0({\rm M}_c,\mathcal {D}_u)$. Si ${\rm M}_c$ n’est pas vide, la conjecture affirme que $\mathcal {D}_{c,u}$ est un isomorphisme. Nous prouvons la conjecture dans le cas particulier où $c$ est de rang $2$, première classe de Chern nulle et deuxième classe de Chern $c_2(c)=n\le 5$, et $u$ est de degré $d(u)\le 3$ et caractéristique d’Euler-Poincaré nulle. Nous donnons la série génératrice $P(t)=\sum _{k\ge 0}t^kh^0({\rm M}_c,\mathcal {D}_u^{\otimes k})$ pour $c_2(c)=3$, $c_2(c)=4$, $d(u)=1$, pour les classes $c$ et $u$ considérées ci-dessus.
LA - fre
KW - moduli spaces; determinant bundle; strange duality; generating series
UR - http://eudml.org/doc/272392
ER -

References

top
  1. [1] A. Altman, A. Iarrobino & S. Kleiman – « Irreducibility of the compactified jacobian », Nordic Summer School/NAVF, Symposium in Mathematics, Oslo, August 5-25, 1976. Zbl0415.14014MR498546
  2. [2] W. Barth – « Moduli of vector bundles on projective plane », Invent. Math.42 (1977), p. 63–91. Zbl0386.14005MR460330
  3. [3] P. Baum, W. Fulton & R. MacPherson – « Riemann-Roch and topological 𝒦 theory for singular varieties », Acta Math. 143 (1979), no. 3-4, p. 155–192. Zbl0474.14004MR549773
  4. [4] J.-F. Boutot – « Singularités rationnelles et quotients par les groupes réductifs », Invent. Math.88 (1987), p. 65–68. Zbl0619.14029MR877006
  5. [5] G. Danila – « Sections du fibré déterminant sur l’espace de modules des faisceaux semi-stables de rang 2 sur le plan projectif », Ann. Inst. Fourier Grenoble50 (2000), p. 1323–1374. Zbl0952.14010MR1800122
  6. [6] J.-M. Drézet – « Fibrés exceptionnels et variétés de modules de faisceaux semi-stables sur ℙ 2 », J. reine angew. Math. 380 (1987), p. 14–58. Zbl0613.14013MR916199
  7. [7] —, « Groupe de Picard des variétés de modules de faisceaux semi-stables sur ℙ 2 ( ℂ ) », Ann. Inst. Fourier Grenoble38 (1988), p. 105–168. Zbl0616.14006MR976687
  8. [8] J.-M. Drézet & M. Narasimhan – « Groupe de Picard des variétés de modules de fibrés semi-stables sur les courbes algébriques », Invent. Math.97 (1989), p. 53–94. Zbl0689.14012MR999313
  9. [9] H. Esnault & E. Viehweg – Lectures on vanishing theorems, DMV Seminar, vol. 20, Birkhäuser Verlag, Basel, 1992. Zbl0779.14003MR1193913
  10. [10] W. Fulton – Intersection theory, Springer-Verlag, 1984. Zbl0885.14002MR732620
  11. [11] A. Grothendieck – Local cohomology, Lecture Notes Series, vol. 41, 1967. Zbl0185.49202MR224620
  12. [12] R. Hartshorne – Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, Springer-Verlag, 1977. Zbl0367.14001MR463157
  13. [13] M. He – « Espaces de modules de systèmes cohérents », Int. J. of Maths 9-5 (1998), p. 545–598. Zbl0936.14008
  14. [14] J. Le Potier – « Dualité étrange sur le plan projectif », exposé donné à Luminy en décembre 1996. 
  15. [15] —, « L’espace de modules de Simpson », Séminaire de géométrie algébrique, Jussieu, exposé du 27 février 1992. 
  16. [16] —, « Fibré déterminant et courbes de saut sur les surfaces algébriques », Complex projective Geometry, Lecture Notes Series, vol. 179, London Math. Soc., 1992, p. 213–240. Zbl0788.14045MR1201385
  17. [17] —, « Faisceaux semi-stables de dimension 1 sur le plan projectif », Revue roumaine de math. pures et appliquées 38 (1993), p. 635–678, dédicacé à la mémoire de Constantin Banica. MR1263210
  18. [18] —, « Faisceaux semi-stables et systèmes cohérents », Proceedings de la Conference de Durham (juillet 1993), Cambridge University Press, 1995, p. 179–239. 
  19. [19] —, « Module des fibrés semi-stables et fonctions thêta », Proceedings du Symposium Taniguchi sur les fibrés vectoriels (Kyoto, décembre 1994) ; Moduli of vector bundles (M. Maruyama, éd.), Lecture Notes in Pure and Applied Math., vol. 179, 1996, p. 83–101. Zbl0890.14017
  20. [20] —, Lectures on vector bundles, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 54, Cambridge Univ. Press, 1997. Zbl0872.14003MR1428426
  21. [21] J. Li – « Algebraic Geometric Interpretation of Donaldson’s Polynomial Invariants », J. Diff. Geo.37 (1993), p. 417–466. Zbl0809.14006MR1205451
  22. [22] W.-P. Li & Z. Qin – « Lower-degree Donaldson Polynomial Invariants of Rational Surfaces », J. Alg. Geom.2 (1993), p. 413–442. Zbl0789.14036MR1211994
  23. [23] J. Milne – « Abelian Varieties », Arithmetic Geometry (G. Cornell & J. Silverman, éds.), Springer-Verlag, 1986. Zbl0604.14028MR861974
  24. [24] D. Mumford & J. Fogarty – Geometric Invariant Theory, 2nd ed., Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 34, Springer-Verlag, 1982. Zbl0504.14008MR719371
  25. [25] K. O’Grady – « Moduli of vector bundles on surfaces », Algebraic geometry – Santa Cruz 1995, Proc. Sympos. Pure Math., Part1, vol. 62, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, p. 101–126. Zbl0901.14026MR1492520
  26. [26] C. Simpson – « Moduli of Representations of the Fundamental Group of a Smooth Variety », Publ. Math. IHES 79-80 (1994). Zbl0891.14006

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.