Analytic classification of Poisson structures

Philipp Lohrmann

Bulletin de la Société Mathématique de France (2009)

  • Volume: 137, Issue: 3, page 321-386
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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Our study deals with some singular Poisson structures, holomorphic near 0 ∈ ℂ n and admitting a polynomial normal form, i.e. a finite number of formal invariants. Their normalizing series generally diverge. We show the existence of normalizing transformations, holomorphic on some sectorial domains a < arg x R < b , where x R denotes a monomial associated to the problem. Follows an analytic classification.

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Lohrmann, Philipp. "Classification analytique de structures de Poisson." Bulletin de la Société Mathématique de France 137.3 (2009): 321-386. <http://eudml.org/doc/272393>.

@article{Lohrmann2009,
abstract = {Notre étude porte sur une catégorie de structures de Poisson singulières holomorphes au voisinage de $0 \in \mathbb \{C\}^n$ et admettant une forme normale formelle polynomiale i.e. un nombre fini d’invariants formels. Les séries normalisantes sont divergentes en général. On montre l’existence de transformations normalisantes holomorphes sur des domaines sectoriels de la forme $a&lt; \mathrm \{arg \} x^R &lt; b$, où $x^R$ est un monôme associé au problème. Il suit une classification analytique.},
author = {Lohrmann, Philipp},
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TY - JOUR
AU - Lohrmann, Philipp
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JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2009
PB - Société mathématique de France
VL - 137
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AB - Notre étude porte sur une catégorie de structures de Poisson singulières holomorphes au voisinage de $0 \in \mathbb {C}^n$ et admettant une forme normale formelle polynomiale i.e. un nombre fini d’invariants formels. Les séries normalisantes sont divergentes en général. On montre l’existence de transformations normalisantes holomorphes sur des domaines sectoriels de la forme $a&lt; \mathrm {arg } x^R &lt; b$, où $x^R$ est un monôme associé au problème. Il suit une classification analytique.
LA - fre
KW - Stokes phenomenon; singularities; summability; normal forms; Poisson structures
UR - http://eudml.org/doc/272393
ER -

References

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  1. [1] V. I. Arnolʼd – Mathematical methods of classical mechanics, second éd., Graduate Texts in Math., vol. 60, Springer, 1989. Zbl0386.70001MR997295
  2. [2] B. Braaksma & L. Stolovitch – « Small divisors and large multipliers », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 57 (2007), p. 603–628. Zbl1138.37028MR2310952
  3. [3] M. Chaperon – « Géométrie différentielle et singularités de systèmes dynamiques », Astérisque 138-139 (1986). Zbl0601.58002
  4. [4] J. F. Conn – « Normal forms for analytic Poisson structures », Ann. of Math.119 (1984), p. 577–601. Zbl0553.58004MR744864
  5. [5] J.-P. Dufour & A. Wade – « Formes normales de structures de Poisson ayant un 1 -jet nul en un point », J. Geom. Phys.26 (1998), p. 79–96. Zbl0958.37021MR1626032
  6. [6] J.-P. Dufour & N. T. Zung – Poisson structures and their normal forms, Progress in Mathematics, vol. 242, Birkhäuser, 2005. Zbl1082.53078MR2178041
  7. [7] J. Écalle – « Singularités non abordables par la géométrie », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 42 (1992), p. 73–164. Zbl0940.32013MR1162558
  8. [8] R. Gérard & Y. Sibuya – « Étude de certains systèmes de Pfaff avec singularités », in Équations différentielles et systèmes de Pfaff dans le champ complexe (Sem., Inst. Rech. Math. Avancée, Strasbourg, 1975), Lecture Notes in Math., vol. 712, Springer, 1979, p. 131–288. Zbl0455.35035MR548148
  9. [9] P. Lohrmann – « Normalisation holomorphe de structures de Poisson », article soumis. Zbl1204.53072
  10. [10] B. Malgrange – Ideals of differentiable functions, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, No. 3, Tata Institute of Fundamental Research, 1967. Zbl0177.17902MR212575
  11. [11] J. Martinet & J.-P. Ramis – « Problèmes de modules pour des équations différentielles non linéaires du premier ordre », Publ. Math. I.H.É.S. 55 (1982), p. 63–164. Zbl0546.58038MR672182
  12. [12] —, « Classification analytique des équations différentielles non linéaires résonnantes du premier ordre », Ann. Sci. École Norm. Sup.16 (1983), p. 571–621. Zbl0534.34011MR740592
  13. [13] A. Newlander & L. Nirenberg – « Complex analytic coordinates in almost complex manifolds », Ann. of Math.65 (1957), p. 391–404. Zbl0079.16102MR88770
  14. [14] J.-P. Ramis – « Les séries k -sommables et leurs applications », in Complex analysis, microlocal calculus and relativistic quantum theory (Proc. Internat. Colloq., Centre Phys., Les Houches, 1979), Lecture Notes in Phys., vol. 126, Springer, 1980, p. 178–199. Zbl1251.32008MR579749
  15. [15] L. Stolovitch – « Sur un théorème de Dulac », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 44 (1994), p. 1397–1433. Zbl0820.34023MR1313789
  16. [16] —, « Classification analytique de champs de vecteurs 1 -résonnants de ( 𝐂 n , 0 ) », Asymptotic Anal.12 (1996), p. 91–143. Zbl0852.58013MR1386227
  17. [17] —, « Singular complete integrability », Publ. Math. I.H.É.S. 91 (2000), p. 133–210. Zbl0997.32024MR1828744
  18. [18] —, « Sur les structures de Poisson singulières », Ergodic Theory Dynam. Systems24 (2004), p. 1833–1863. Zbl1090.53066MR2104604
  19. [19] —, « Normalisation holomorphe d’algèbres de type Cartan de champs de vecteurs holomorphes singuliers », Ann. of Math.161 (2005), p. 589–612. Zbl1080.32019MR2153396
  20. [20] J.-C. Tougeron – Idéaux de fonctions différentiables, Springer, 1972, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 71. Zbl0251.58001MR440598
  21. [21] S. M. Voronin – « Analytic classification of germs of conformal mappings ( 𝐂 , 0 ) → ( 𝐂 , 0 ) », Funktsional. Anal. i Prilozhen. 15 (1981), p. 1–17, 96. Zbl0463.30010MR609790
  22. [22] A. Weinstein – « The local structure of Poisson manifolds », J. Differential Geom.18 (1983), p. 523–557. Zbl0524.58011MR723816

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