Sur un théorème de Dulac

Laurent Stolovitch

Annales de l'institut Fourier (1994)

  • Volume: 44, Issue: 5, page 1397-1433
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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We shall consider holomorphic vector fields of ( ℂ n , 0 ) with a non zero diagonal linear part and which eigenvalues λ i ∈ ℂ satisfy to some resonnance’s relations all generated by one relation ( r , λ ) = 0 for a non zero vector r ∈ ℕ n . We shall show that such vector fields can be transformed, by a local holomorphic diffeomorphism near 0 ∈ ℂ n , into a preliminary normal forms while exhibiting invariant varieties, if an hypothesis of diophantine small divisors is made. Our results generalize, to any dimension, those done by H. Dulac in dimension 2.

How to cite

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Stolovitch, Laurent. "Sur un théorème de Dulac." Annales de l'institut Fourier 44.5 (1994): 1397-1433. <http://eudml.org/doc/75103>.

@article{Stolovitch1994,
abstract = {Nous considérons les champs de vecteurs analytiques de $(\{\Bbb C\}^n,0)$ de partie linéaire diagonale non nulle et dont les valeurs propres $\lambda _i\in \{\Bbb C\}$ vérifient des relations de résonances toutes engendrées par une seule relation $(r,\lambda )=0$ pour un certain vecteur $r\in \{\Bbb N\}^n$ non nul. Nous montrons que, dans un système de coordonnées locales holomorphes au voisinages de $0\in \{\Bbb C\}^n$, de tels champs de vecteurs se “mettent" sous une forme normale partielle, tout en exhibant des variétés invariantes, si l’on fait une hypothèse de petits diviseurs diophantiens. Nos résultats généralisent, à une dimension quelconque, ceux en dimension 2 de H. Dulac.},
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LA - fre
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ER -

References

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  1. [AA88] V. ARNOLD et D.V. ANOSOV, Encyclopaedia of Mathematical Sciences : Dynamical Systems I, Springer-Verlag, 1988. 
  2. [Arn80] V. ARNOLD, Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires, Mir, 1980. Zbl0956.34501MR83a:34003
  3. [Bru72] A.D. BRUNO, The analytical form of differential equations, Trans. Mosc. Math. Soc., 25 (1971), 131-288 ; 26 (1972), 199-239. Zbl0272.34018
  4. [Bru89] A.D. BRUNO, Local methods in nonlinear differential equations, Springer Series in Soviet Mathematics, Springer Verlag, 1989. Zbl0674.34002
  5. [CKP78] H. CAMACHO, N.H. KUIPER et J. PALIS, The Topology of Holomorphic Flows with Singularity, I.H.E.S., 48 (1978), 5-38. Zbl0411.58018MR80j:58045
  6. [CS] C. CAMACHO et P. SAD, Pontos singulares de equaçoes diferencais analiticas, 16 Coloquio Brasileiro de Matematica. 
  7. [DDS94] J. DELLA DORA et L. STOLOVITCH, Normal Forms of Differential Systems, 1994, Ed. E. Tournier, London Mathematical Society Lecture Note Series 193, p 143-184. Zbl0802.34039MR95h:34056
  8. [Dul04] H. DULAC, Recherches sur les points singuliers des équations différentielles, J. Ecole Polytechnique, 2,9 (1904), 1-125. JFM35.0331.02
  9. [Dul23] H. DULAC, Sur les cycles limites, Bull. Soc Math. France, 51 (1923), 45-188. Zbl49.0304.01JFM49.0304.01
  10. [Eca92] J. ÉCALLE, Singularités non abordables par la géométrie, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 42, 1-2 (1992), 73-164. Zbl0940.32013MR93f:58214
  11. [Eli90] L.H. ELIASSON, Generalisation of an estimate of small divisors by Siegel, pages 283-299, Rabinowitz, Zehnder editors, Academic Press, analysis, et cetera edition, 1990. Zbl0703.34010MR91k:58113
  12. [Fra80] J.-P. FRANÇOISE, Singularités en géométrie locale isochore et applications à l'étude des champs de vecteurs, PhD thesis, Université Joseph Fourier Grenoble, France, 1980. 
  13. [IP86] Yu.S. IL'YASHENKO et A.S. PYARTLI, Materialization of resonances and divergence of normalizing series for polynomial differential equations, J. Soviet Math., 31 (1986), 300-313. Zbl0581.34013
  14. [Mal82] B. MALGRANGE, Travaux d'Ecalle et de Martinet-Ramis sur les systèmes dynamiques, Sém. Bourbaki 1981-1982, exp. 582 (1982). Zbl0526.58009
  15. [Mar80] J. MARTINET, Normalisation des champs de vecteurs holomorphes, Séminaire Bourbaki, 33 (1980-1981), 564. Zbl0481.34013
  16. [MC88] R. MOUSSU et D. CERVEAU, Groupes d'automorphismes de (ℂ,0) et équations différentielles ydy + ... = 0, Bull. Soc. Math. France, 16 (1988), 459-488. Zbl0696.58011MR90m:58192
  17. [MM80] J.-F. MATTEI et R. MOUSSU, Intégrales premières et holonomie, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 13 (1980) 469-523. Zbl0458.32005MR83b:58005
  18. [MR85] J. MARTINET et J.P. RAMIS, Analytic Classification of Resonant Saddles and Foci, 1985, North-Holland. Zbl0596.34021MR87h:58158
  19. [Pos86] J. POSCHEL, On invariant manifolds of complex analytic mappings near fixed points, Expo. Math., 4, (1986), 97-109. Zbl0597.32011MR88h:58098
  20. [RM82] J.-P. RAMIS et J. MARTINET, Problèmes de modules pour des équations différentielles non linéaires du premier ordre, I.H.E.S, 55 (1982), 63-164. Zbl0546.58038MR84k:34011
  21. [RM83] J.-P. RAMIS et J. MARTINET, Classification analytique des équations différentielles non linéaires résonantes du premier ordre, Ann. Sci. E.N.S., 4ème série, 16 (1983), 571-621. Zbl0534.34011MR86k:34034
  22. [Sie42] C.L. SIEGEL, Iterations of analytic functions, Ann. Math., 43 (1942) 807-812. Zbl0061.14904
  23. [Yoc88] J.-C. YOCCOZ, Linéarisation des germes de difféomorphismes holomorphes de (ℂ,0), C.R. Acad. Sci. Paris, 306 (1988) 55-58. Zbl0668.58010MR89i:58123

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