Global automorphic induction for number fields

Guy Henniart

Bulletin de la Société Mathématique de France (2012)

  • Volume: 140, Issue: 1, page 1-17
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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Let F be a number field, E a finite cyclic extension of F , d its degree. Automorphic induction associates to a cuspidal automorphic representation τ of GL m ( 𝔸 E ) an automorphic representation π of GL m d ( 𝔸 F ) , induced from cuspidal, and characterized by the fact that at almost all places v of F , the factor L ( π v , s ) is the product of the factors L ( τ w , s ) , where w runs through the places of E above v . By the correspondence conjectured by Langlands, that process should correspond to inducing Galois representations from E to  F . We prove here that the representation π automorphically induced from τ exists, and we study the fibres and the image of automorphic induction. For that we use and extend the results of Arthur and Clozel on base change, which corresponds to restricting Galois representations from F to E , and we clarify the relations between the two processes. Moreover we prove that global automorphic induction is compatible, at finite places, with the local automorphic induction defined by R. Herb and the author.

How to cite

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Henniart, Guy. "Induction automorphe globale pour les corps de nombres." Bulletin de la Société Mathématique de France 140.1 (2012): 1-17. <http://eudml.org/doc/272596>.

@article{Henniart2012,
abstract = {Soit $F$ un corps de nombres et soit $E$ une extension cyclique de $F$, de degré $d$. L’induction automorphe associe à une représentation automorphe cuspidale $\tau $ de $\mathrm \{GL\}_m(\mathbb \{A\}_E)$ une représentation automorphe $\pi $ de $\mathrm \{GL\}_\{md\}(\mathbb \{A\}_F)$, induite de cuspidale. La représentation $\pi $ est caractérisée par le fait qu’à presque toute place $v$ de $F$, le facteur $L(\pi _v,s)$ est le produit des facteurs $L(\tau _w,s)$, $w$ parcourant les places de $E$ au–dessus de $v$. Par la correspondance conjecturale de Langlands, cette opération doit correspondre à l’induction, de $E$ à $F$, des représentations galoisiennes. Nous prouvons l’existence de l’induite automorphe $\pi $ de $\tau $, et étudions les fibres et l’image de ce processus d’induction. Pour cela nous utilisons et étendons les résultats d’Arthur et Clozel sur le processus de changement de base, qui correspond à la restriction de $E$ à $F$ des représentations galoisiennes, et nous précisons le lien entre ces deux processus. De plus, nous prouvons que l’opération d’induction automorphe globale est compatible aux places finies à l’opération locale construite par R. Herb et l’auteur.},
author = {Henniart, Guy},
journal = {Bulletin de la Société Mathématique de France},
keywords = {automorphic representation; Langlands conjectures; base change; automorphic induction},
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publisher = {Société mathématique de France},
title = {Induction automorphe globale pour les corps de nombres},
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TY - JOUR
AU - Henniart, Guy
TI - Induction automorphe globale pour les corps de nombres
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2012
PB - Société mathématique de France
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LA - fre
KW - automorphic representation; Langlands conjectures; base change; automorphic induction
UR - http://eudml.org/doc/272596
ER -

References

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  1. [1] J. Arthur & L. Clozel – Simple algebras, base change, and the advanced theory of the trace formula, Annals of Math. Studies, vol. 120, Princeton Univ. Press, 1989. Zbl0682.10022MR1007299
  2. [2] L. Clozel – « Motifs et formes automorphes : applications du principe de fonctorialité », in Automorphic forms, Shimura varieties, and L -functions, Vol. I (Ann Arbor, MI, 1988), Perspect. Math., vol. 10, Academic Press, 1990, p. 77–159. Zbl0705.11029MR1044819
  3. [3] G. Henniart – « Sur la conjecture de Langlands locale pour GL n », J. Théor. Nombres Bordeaux13 (2001), p. 167–187. Zbl1048.11093MR1838079
  4. [4] —, « Induction automorphe pour GL ( n , ℂ ) », J. Funct. Anal.258 (2010), p. 3082–3096. Zbl1193.22015MR2595735
  5. [5] G. Henniart & R. Herb – « Automorphic induction for GL ( n ) (over local non-Archimedean fields) », Duke Math. J.78 (1995), p. 131–192. Zbl0849.11092MR1328755
  6. [6] G. Henniart & B. Lemaire – « Changement de base et induction automatique pour GL n en caractéristique non nulle », Mémoires de la S.M.F. 124 (2011). Zbl1227.22020
  7. [7] H. Jacquet & J. A. Shalika – « On Euler products and the classification of automorphic forms. II », Amer. J. Math.103 (1981), p. 777–815. Zbl0491.10020MR623137
  8. [8] R. P. Langlands – « On the notion of an automorphic representation », Proceedings of Symposia in Pure Mathematics33 (1979), p. 203–207. Zbl0414.22021MR546598
  9. [9] —, Base change for GL ( 2 ) , Annals of Math. Studies, vol. 96, Princeton Univ. Press, 1980. MR574808
  10. [10] E. Lapid & J. Rogawski – « On twists of cuspidal representations of GL ( 2 ) », Forum Math.10 (1998), p. 175–197. Zbl1069.11018MR1611951
  11. [11] C. Mœglin & J.-L. Waldspurger – « Le spectre résiduel de GL ( n ) », Ann. Sci. École Norm. Sup.22 (1989), p. 605–674. Zbl0696.10023MR1026752
  12. [12] M. Tadić – « Classification of unitary representations in irreducible representations of general linear group (non-Archimedean case) », Ann. Sci. École Norm. Sup.19 (1986), p. 335–382. Zbl0614.22005MR870688
  13. [13] A. V. Zelevinsky – « Induced representations of reductive 𝔭 -adic groups. II. On irreducible representations of GL ( n ) », Ann. Sci. École Norm. Sup.13 (1980), p. 165–210. Zbl0441.22014MR584084

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