On the complexity of families of pseudo-random subsets

Ramachandran Balasubramanian[1]; Cécile Dartyge[2]; Élie Mosaki[3]

  • [1] Institute of Mathematical Sciences C.I.T. Campus Taramani, Chennai 600113 (India)
  • [2] Université de Lorraine Institut Élie Cartan BP 70239 54506 Vandœuvre-lès-Nancy Cedex (France)
  • [3] Université de Lyon Université Lyon 1 Institut Camille Jordan CNRS UMR 5208 43, boulevard du 11 Novembre 1918 69622 Villeurbanne (France)

Annales de l’institut Fourier (2014)

  • Volume: 64, Issue: 1, page 267-296
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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In this paper we are interested in the following problem. Let p be a prime number, S ⊂ 𝔽 p and 𝒫 ⊂ { P ∈ 𝔽 p [ X ] : deg P ≤ d } . What is the largest integer k such that for all subsets 𝒜 , ℬ of 𝔽 p satisfying 𝒜 ∩ ℬ = ∅ and | 𝒜 ∪ ℬ | = k , there exists P ∈ 𝒫 such that P ( x ) ∈ S if x ∈ 𝒜 and P ( x ) ∉ S if x ∈ ℬ ? This problem corresponds to the study of the complexity of some families of pseudo-random subsets. First we recall this complexity definition and the context of pseudo-random subsets. Then we state the different results we have obtained according to the shape of the sets S and 𝒫 considered. Some proofs are based on upper bounds for exponential sums or characters sums in finite fields, other proofs use combinatorics and additive number theory.

How to cite

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Balasubramanian, Ramachandran, Dartyge, Cécile, and Mosaki, Élie. "Sur la complexité de familles d’ensembles pseudo-aléatoires." Annales de l’institut Fourier 64.1 (2014): 267-296. <http://eudml.org/doc/275591>.

@article{Balasubramanian2014,
abstract = {Dans cet article, on s’intéresse au problème suivant. Soient $p$ un nombre premier, $S\subset \{\mathbb\{F\}\}_p$ et $\{\mathcal\{P\}\}\subset \lbrace P\in \{\mathbb\{F\}\}_p [X] : \deg P\le d \rbrace $. Quel est le plus grand entier $k$ tel que pour toutes paires de sous-ensembles disjoints $\{\mathcal\{A\}\} ,\{\mathcal\{B\}\}$ de $\{\mathbb\{F\}\}_p$ vérifiant $|\{\mathcal\{A\}\}\cup \{\mathcal\{B\}\} |=k$, il existe $P\in \{\mathcal\{P\}\}$ tel que $P(x)\in S$ si $x\in \{\mathcal\{A\}\}$ et $P(x)\notin S$ si $x\in \{\mathcal\{B\}\}$  ? Ce problème correspond à l’étude de la complexité de certaines familles d’ensembles pseudo-aléatoires. Dans un premier temps, nous rappelons la définition de cette complexité et resituons le contexte des ensembles pseudo-aléatoires. Ensuite, nous exposons les différents résultats obtenus selon la nature des ensembles $S$ et $\{\mathcal\{P\}\}$ étudiés. Certaines preuves passent par des majorations de sommes d’exponentielles ou de caractères sur des corps finis, d’autres combinent des arguments combinatoires avec des résultats de la théorie additive des nombres.},
affiliation = {Institute of Mathematical Sciences C.I.T. Campus Taramani, Chennai 600113 (India); Université de Lorraine Institut Élie Cartan BP 70239 54506 Vandœuvre-lès-Nancy Cedex (France); Université de Lyon Université Lyon 1 Institut Camille Jordan CNRS UMR 5208 43, boulevard du 11 Novembre 1918 69622 Villeurbanne (France)},
author = {Balasubramanian, Ramachandran, Dartyge, Cécile, Mosaki, Élie},
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PB - Association des Annales de l’institut Fourier
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UR - http://eudml.org/doc/275591
ER -

References

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