La dualité dans les espaces ( ) et ( )

Jean Dieudonné; Laurent Schwartz

Annales de l'institut Fourier (1949)

  • Volume: 1, page 61-101
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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L’objet du mémoire est l’extension des propriétés classiques des espaces de Banach à deux catégories d’espaces plus vastes, qui interviennent de manière essentielle dans la théorie des Distributions : les espaces ( ) , qui sont définis comme les espaces localement convexes, métrisables et complets, et les espaces ( ) qui s’obtiennent à partir des espaces ( ) par un processus de “limite inductive” : un tel espace est réunion d’une suite croissante ( F n ) d’espaces ( ) , muni de la topologie la plus fine induisant sur chacun des F n sa topologie propre. Pour un tel espace E , on définit son dual E ' comme l’espace vectoriel de toutes les formes linéaires x ' continues dans E , et on pose x , x ' = x ' ( x ) pour x E , x ' E ' . Pour développer la théorie de la dualité, on munit E ' d’une topologie (dite topologie forte) définie de la façon suivante : un ensemble B dans un espace vectoriel topologique étant dit borné quand tout voisinage de 0 contient un homothétique de B (dans un rapport > 0 assez petit), la topologie forte sur E ' est la topologie de la convergence uniforme des formes linéaires dans tous les ensembles bornés de E . Il y a alors une dualité remarquable entre ensembles bornés et voisinages de 0 dans les deux espaces E et E '  : appelons polaire d’un ensemble A E (resp. A ' E ' ) l’ensemble A 0 E ' (resp. A ' 0 E ) formé des x ' E ' (resp. x E ) tels que | x , x ' | 1 pour tout x A (resp. tout x ' A ' ) ; alors les polaires des ensembles bornés dans E (resp. E ' ) sont les voisinages de 0 dans E ' (resp. E ) et réciproquement. Grâce à cette propriété fondamentale, on peut développer, comme dans les espaces de Banach, les relations entre dualité forte et dualité faible, obtenir entre autres la condition pour qu’un espace ( ) ou ( ) soit réflexif (c’est-à-dire identique au dual de son dual fort), étudier la dualité des sous-espaces et espaces quotients, et les fonctions linéaires et bilinéaires définies dans des espaces ( ) ou ( ) ou dans leurs duals ; les résultats généralisant presque complètement les propriétés correspondantes des espaces de Banach.

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Dieudonné, Jean, and Schwartz, Laurent. "La dualité dans les espaces $({\mathcal {F}})$ et $({\mathcal {L}}{\mathcal {F}})$." Annales de l'institut Fourier 1 (1949): 61-101. <http://eudml.org/doc/73677>.

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abstract = {L’objet du mémoire est l’extension des propriétés classiques des espaces de Banach à deux catégories d’espaces plus vastes, qui interviennent de manière essentielle dans la théorie des Distributions : les espaces $(\{\cal F\})$, qui sont définis comme les espaces localement convexes, métrisables et complets, et les espaces $(\{\cal L\}\{\cal F\})$ qui s’obtiennent à partir des espaces $(\{\cal F\})$ par un processus de “limite inductive” : un tel espace est réunion d’une suite croissante $(F_n)$ d’espaces $(\{\cal F\})$, muni de la topologie la plus fine induisant sur chacun des $F_n$ sa topologie propre. Pour un tel espace $E$, on définit son dual$E^\{\prime \}$ comme l’espace vectoriel de toutes les formes linéaires $x^\{\prime \}$ continues dans $E$, et on pose $\langle x,x^\{\prime \}\rangle = x^\{\prime \}(x)$ pour $x\in E$, $x^\{\prime \}\in E^\{\prime \}$. Pour développer la théorie de la dualité, on munit $E^\{\prime \}$ d’une topologie (dite topologie forte) définie de la façon suivante : un ensemble $B$ dans un espace vectoriel topologique étant dit borné quand tout voisinage de $0$ contient un homothétique de $B$ (dans un rapport $&gt;0$ assez petit), la topologie forte sur $E^\{\prime \}$ est la topologie de la convergence uniforme des formes linéaires dans tous les ensembles bornés de $E$. Il y a alors une dualité remarquable entre ensembles bornés et voisinages de 0 dans les deux espaces $E$ et $E^\{\prime \}$ : appelons polaire d’un ensemble $A\subset E$ (resp. $A^\{\prime \}\subset E^\{\prime \}$) l’ensemble $A^0\subset E^\{\prime \}$ (resp. $A^\{\prime 0\}\subset E$) formé des $x^\{\prime \}\in E^\{\prime \}$ (resp. $x\in E$) tels que $\vert \langle x,x^\{\prime \}\rangle \vert \le 1$ pour tout $x\in A$ (resp. tout $x^\{\prime \}\in A^\{\prime \}$) ; alors les polaires des ensembles bornés dans $E$ (resp. $E^\{\prime \}$) sont les voisinages de 0 dans $E^\{\prime \}$ (resp. $E$) et réciproquement. Grâce à cette propriété fondamentale, on peut développer, comme dans les espaces de Banach, les relations entre dualité forte et dualité faible, obtenir entre autres la condition pour qu’un espace $(\{\cal F\})$ ou $(\{\cal L\}\{\cal F\})$ soit réflexif (c’est-à-dire identique au dual de son dual fort), étudier la dualité des sous-espaces et espaces quotients, et les fonctions linéaires et bilinéaires définies dans des espaces $(\{\cal F\})$ ou $(\{\cal L\}\{\cal F\})$ ou dans leurs duals ; les résultats généralisant presque complètement les propriétés correspondantes des espaces de Banach.},
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ER -

References

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