La dualité dans les espaces $\left(ℱ\right)$ et $\left(ℒℱ\right)$

Dieudonné, Jean, and Schwartz, Laurent. "La dualité dans les espaces $({\mathcal {F}})$ et $({\mathcal {L}}{\mathcal {F}})$." Annales de l'institut Fourier 1 (1949): 61-101. <http://eudml.org/doc/73677>.

@article{Dieudonné1949,
abstract = {L’objet du mémoire est l’extension des propriétés classiques des espaces de Banach à deux catégories d’espaces plus vastes, qui interviennent de manière essentielle dans la théorie des Distributions : les espaces $(\{\cal F\})$, qui sont définis comme les espaces localement convexes, métrisables et complets, et les espaces $(\{\cal L\}\{\cal F\})$ qui s’obtiennent à partir des espaces $(\{\cal F\})$ par un processus de “limite inductive” : un tel espace est réunion d’une suite croissante $(F_n)$ d’espaces $(\{\cal F\})$, muni de la topologie la plus fine induisant sur chacun des $F_n$ sa topologie propre. Pour un tel espace $E$, on définit son dual$E^\{\prime \}$ comme l’espace vectoriel de toutes les formes linéaires $x^\{\prime \}$ continues dans $E$, et on pose $\langle x,x^\{\prime \}\rangle = x^\{\prime \}(x)$ pour $x\in E$, $x^\{\prime \}\in E^\{\prime \}$. Pour développer la théorie de la dualité, on munit $E^\{\prime \}$ d’une topologie (dite topologie forte) définie de la façon suivante : un ensemble $B$ dans un espace vectoriel topologique étant dit borné quand tout voisinage de $0$ contient un homothétique de $B$ (dans un rapport $&gt;0$ assez petit), la topologie forte sur $E^\{\prime \}$ est la topologie de la convergence uniforme des formes linéaires dans tous les ensembles bornés de $E$. Il y a alors une dualité remarquable entre ensembles bornés et voisinages de 0 dans les deux espaces $E$ et $E^\{\prime \}$ : appelons polaire d’un ensemble $A\subset E$ (resp. $A^\{\prime \}\subset E^\{\prime \}$) l’ensemble $A^0\subset E^\{\prime \}$ (resp. $A^\{\prime 0\}\subset E$) formé des $x^\{\prime \}\in E^\{\prime \}$ (resp. $x\in E$) tels que $\vert \langle x,x^\{\prime \}\rangle \vert \le 1$ pour tout $x\in A$ (resp. tout $x^\{\prime \}\in A^\{\prime \}$) ; alors les polaires des ensembles bornés dans $E$ (resp. $E^\{\prime \}$) sont les voisinages de 0 dans $E^\{\prime \}$ (resp. $E$) et réciproquement. Grâce à cette propriété fondamentale, on peut développer, comme dans les espaces de Banach, les relations entre dualité forte et dualité faible, obtenir entre autres la condition pour qu’un espace $(\{\cal F\})$ ou $(\{\cal L\}\{\cal F\})$ soit réflexif (c’est-à-dire identique au dual de son dual fort), étudier la dualité des sous-espaces et espaces quotients, et les fonctions linéaires et bilinéaires définies dans des espaces $(\{\cal F\})$ ou $(\{\cal L\}\{\cal F\})$ ou dans leurs duals ; les résultats généralisant presque complètement les propriétés correspondantes des espaces de Banach.},
author = {Dieudonné, Jean, Schwartz, Laurent},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {Functional analysis},
language = {fre},
pages = {61-101},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {La dualité dans les espaces $(\{\mathcal \{F\}\})$ et $(\{\mathcal \{L\}\}\{\mathcal \{F\}\})$},
url = {http://eudml.org/doc/73677},
volume = {1},
year = {1949},
}

TY - JOUR
AU - Dieudonné, Jean
AU - Schwartz, Laurent
TI - La dualité dans les espaces $({\mathcal {F}})$ et $({\mathcal {L}}{\mathcal {F}})$
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1949
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 1
SP - 61
EP - 101
AB - L’objet du mémoire est l’extension des propriétés classiques des espaces de Banach à deux catégories d’espaces plus vastes, qui interviennent de manière essentielle dans la théorie des Distributions : les espaces $({\cal F})$, qui sont définis comme les espaces localement convexes, métrisables et complets, et les espaces $({\cal L}{\cal F})$ qui s’obtiennent à partir des espaces $({\cal F})$ par un processus de “limite inductive” : un tel espace est réunion d’une suite croissante $(F_n)$ d’espaces $({\cal F})$, muni de la topologie la plus fine induisant sur chacun des $F_n$ sa topologie propre. Pour un tel espace $E$, on définit son dual$E^{\prime }$ comme l’espace vectoriel de toutes les formes linéaires $x^{\prime }$ continues dans $E$, et on pose $\langle x,x^{\prime }\rangle = x^{\prime }(x)$ pour $x\in E$, $x^{\prime }\in E^{\prime }$. Pour développer la théorie de la dualité, on munit $E^{\prime }$ d’une topologie (dite topologie forte) définie de la façon suivante : un ensemble $B$ dans un espace vectoriel topologique étant dit borné quand tout voisinage de $0$ contient un homothétique de $B$ (dans un rapport $&gt;0$ assez petit), la topologie forte sur $E^{\prime }$ est la topologie de la convergence uniforme des formes linéaires dans tous les ensembles bornés de $E$. Il y a alors une dualité remarquable entre ensembles bornés et voisinages de 0 dans les deux espaces $E$ et $E^{\prime }$ : appelons polaire d’un ensemble $A\subset E$ (resp. $A^{\prime }\subset E^{\prime }$) l’ensemble $A^0\subset E^{\prime }$ (resp. $A^{\prime 0}\subset E$) formé des $x^{\prime }\in E^{\prime }$ (resp. $x\in E$) tels que $\vert \langle x,x^{\prime }\rangle \vert \le 1$ pour tout $x\in A$ (resp. tout $x^{\prime }\in A^{\prime }$) ; alors les polaires des ensembles bornés dans $E$ (resp. $E^{\prime }$) sont les voisinages de 0 dans $E^{\prime }$ (resp. $E$) et réciproquement. Grâce à cette propriété fondamentale, on peut développer, comme dans les espaces de Banach, les relations entre dualité forte et dualité faible, obtenir entre autres la condition pour qu’un espace $({\cal F})$ ou $({\cal L}{\cal F})$ soit réflexif (c’est-à-dire identique au dual de son dual fort), étudier la dualité des sous-espaces et espaces quotients, et les fonctions linéaires et bilinéaires définies dans des espaces $({\cal F})$ ou $({\cal L}{\cal F})$ ou dans leurs duals ; les résultats généralisant presque complètement les propriétés correspondantes des espaces de Banach.
LA - fre
KW - Functional analysis
UR - http://eudml.org/doc/73677
ER -