Théorie des distributions à valeurs vectorielles. II

Schwartz, Laurent. "Théorie des distributions à valeurs vectorielles. II." Annales de l'institut Fourier 8 (1958): 1-209. <http://eudml.org/doc/73741>.

@article{Schwartz1958,
abstract = {Suite et fin de l’article paru dans le tome 7 des Annales de l’Institut Fourier. L’actuel chapitre II étudie les opérations faisant intervenir 2 distributions à valeurs vectorielles. D’abord on étudie diverses topologies sur un produit tensoriel $L\otimes M$ ; on note ces topologies par $L\otimes _\lambda M$, où $\lambda $ est l’une des 5 lettres $\tau ,\gamma ,\beta ,\pi ,\varepsilon $. Soient alors $L,M,U,V$, 4 espaces vectoriels quasi-complets.Pour $\xi \in L\widehat\{\otimes \}_\lambda U$, $\eta \in M\widehat\{\otimes \}_\varepsilon V$, on peut définir “un produit croisé”\begin\{\}\Gamma \_\{\mu ,\lambda \}(\xi ,\eta )\in (L\widehat\{\otimes \}\_\mu M) \widehat\{\otimes \}\_\varepsilon (U \widehat\{\otimes \}\_\lambda V),\end\{\}dont on étudie systématiquement les propriétés.Plus généralement si $\varphi ,\chi ,\psi ,\omega $, sont 4 des 5 lettres précédentes, on peut, dans certaines conditions, définir, pour $\xi \in L\widehat\{\otimes \}_\varphi U$, $\eta \in M\widehat\{\otimes \}_\chi V$, un produit croisé appartenant à $(L\widehat\{\otimes \}_\psi M)\widehat\{\otimes \}_\varepsilon (U\otimes _\omega V)$.Ce produit croisé peut être appliqué aux différents produits de 2 distributions à valeurs vectorielles.Soient $E,F,G,$ 3 espaces de Banach, et soit $B$ une application bilinéaire continue de $E\times F$ dans $G$. Soient d’autre part $\{\cal H\}, \{\cal K\}, \{\cal L\}$, 3 espaces de distributions, et soit $U$ une application bilinéaire hypocontinue $(S\cdot T)\rightarrow S\cup T$ de $\{\cal H\}\times \{\cal H\}$ dans $\{\cal L\}$ (par exemple le produit scalaire $S\cdot T$ si $\{\cal K\}=\{\cal H\}^\{\prime \}$, $\{\cal L\}=$ corps des scalaires ; le produit multiplicatif si $\{\cal H\}=\{\cal S\}^\{\prime \}$, $\{\cal K\}=\{\cal O\}_\{M^\{\prime \}\}\{\cal L\}=\{\cal S\}^\{\prime \}$ ; le produit de convolution si $\{\cal H\}=\{\cal S\}^\{\prime \}$, $\{\cal K\}=\{\cal O\}^\{\prime \}_\{c^\{\prime \}\}\{\cal L\}=\{\cal S\}$. Alors, si l’espace $\{\cal H\}$ est nucléaire, et si l’on a en outre quelques autres propriétés peu restrictives, on peut définir un produit croisé $\mathrel \{\mathop \{\hspace\{0.0pt\}S\}\limits ^\{\rightarrow \}\} \cup _B\mathrel \{\mathop \{\hspace\{0.0pt\}T\}\limits ^\{\rightarrow \}\}\in \{\cal L\}(G)$, pour $\mathrel \{\mathop \{\hspace\{0.0pt\}\cal S\}\limits ^\{\rightarrow \}\}\in \{\cal H\}(E)$, $\mathrel \{\mathop \{\hspace\{0.0pt\}T\}\limits ^\{\rightarrow \}\}\in \{\cal H\}(F)$ ; ce produit a les propriétés d’hypocontinuité qu’on peut normalement en attendre.},
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TY - JOUR
AU - Schwartz, Laurent
TI - Théorie des distributions à valeurs vectorielles. II
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1958
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 8
SP - 1
EP - 209
AB - Suite et fin de l’article paru dans le tome 7 des Annales de l’Institut Fourier. L’actuel chapitre II étudie les opérations faisant intervenir 2 distributions à valeurs vectorielles. D’abord on étudie diverses topologies sur un produit tensoriel $L\otimes M$ ; on note ces topologies par $L\otimes _\lambda M$, où $\lambda $ est l’une des 5 lettres $\tau ,\gamma ,\beta ,\pi ,\varepsilon $. Soient alors $L,M,U,V$, 4 espaces vectoriels quasi-complets.Pour $\xi \in L\widehat{\otimes }_\lambda U$, $\eta \in M\widehat{\otimes }_\varepsilon V$, on peut définir “un produit croisé”\begin{}\Gamma _{\mu ,\lambda }(\xi ,\eta )\in (L\widehat{\otimes }_\mu M) \widehat{\otimes }_\varepsilon (U \widehat{\otimes }_\lambda V),\end{}dont on étudie systématiquement les propriétés.Plus généralement si $\varphi ,\chi ,\psi ,\omega $, sont 4 des 5 lettres précédentes, on peut, dans certaines conditions, définir, pour $\xi \in L\widehat{\otimes }_\varphi U$, $\eta \in M\widehat{\otimes }_\chi V$, un produit croisé appartenant à $(L\widehat{\otimes }_\psi M)\widehat{\otimes }_\varepsilon (U\otimes _\omega V)$.Ce produit croisé peut être appliqué aux différents produits de 2 distributions à valeurs vectorielles.Soient $E,F,G,$ 3 espaces de Banach, et soit $B$ une application bilinéaire continue de $E\times F$ dans $G$. Soient d’autre part ${\cal H}, {\cal K}, {\cal L}$, 3 espaces de distributions, et soit $U$ une application bilinéaire hypocontinue $(S\cdot T)\rightarrow S\cup T$ de ${\cal H}\times {\cal H}$ dans ${\cal L}$ (par exemple le produit scalaire $S\cdot T$ si ${\cal K}={\cal H}^{\prime }$, ${\cal L}=$ corps des scalaires ; le produit multiplicatif si ${\cal H}={\cal S}^{\prime }$, ${\cal K}={\cal O}_{M^{\prime }}{\cal L}={\cal S}^{\prime }$ ; le produit de convolution si ${\cal H}={\cal S}^{\prime }$, ${\cal K}={\cal O}^{\prime }_{c^{\prime }}{\cal L}={\cal S}$. Alors, si l’espace ${\cal H}$ est nucléaire, et si l’on a en outre quelques autres propriétés peu restrictives, on peut définir un produit croisé $\mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}S}\limits ^{\rightarrow }} \cup _B\mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}T}\limits ^{\rightarrow }}\in {\cal L}(G)$, pour $\mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}\cal S}\limits ^{\rightarrow }}\in {\cal H}(E)$, $\mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}T}\limits ^{\rightarrow }}\in {\cal H}(F)$ ; ce produit a les propriétés d’hypocontinuité qu’on peut normalement en attendre.
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KW - functional analysis
UR - http://eudml.org/doc/73741
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