Anneau des endomorphismes d'un module de type fini sur un anneau local

Jean-Pierre Lafon

Annales de l'institut Fourier (1961)

  • Volume: 11, page 313-384
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
L’objet de cet article est l’étude de l’anneau L ( E ) des A -endomorphismes d’un module de type fini E sur un anneau local A d’idéal maximal m , de corps des restes k . Si C est un sous-module caractéristique, on définit un homomorphisme naturel de L ( E ) dans L ( E / C ) . En particulier, si C = m E , l’image de L ( E ) dans L ( E / m E ) par cet homomorphisme φ est une approximation de l’anneau L ( E ) par une sous-algèbre de la k -algèbre L ( E / m E ) . Réciproquement, si R est une algèbre de dimension finie sur un corps k , il existe un anneau local A de corps des restes k et un A -module de type fini E tels que φ [ L ( E ) ] soit isomorphe à R . Si E est fidèle, la surjectivité de φ est équivalente au fait que E est libre. Un exemple simple montre que l’homomorphisme naturel de L ( E ) dans L ( E / m i E ) peut ne pas être surjectif pour i grand. Si C est un sous-module caractéristique maximal, l’idéal Hom A ( E , C ) est bilatère maximal et, réciproquement, tout idéal bilatère maximal I tel que Σ u ∈ I u ( E ) soit distinct de E est de ce type. La recherche des A -modules E tels que l’anneau L ( E ) soit commutatif se ramène, par extension d’anneau, à la recherche de modules dont les seuls endomorphismes sont les homothéties. Si l’anneau A est intègre, l’égalité L ( E ) = A implique que E est isomorphe à un idéal convenable de A . Il n’en est plus de même dans le cas général. L’étude d’un endomorphisme particulier u se fait, si l’anneau A est hensélien, par une technique de relèvement de décomposition en somme directe. Si l’anneau A est factoriel, on obtient une condition suffisante portant sur le polynôme minimal de u .

How to cite

top

Lafon, Jean-Pierre. "Anneau des endomorphismes d'un module de type fini sur un anneau local." Annales de l'institut Fourier 11 (1961): 313-384. <http://eudml.org/doc/73777>.

@article{Lafon1961,
abstract = {L’objet de cet article est l’étude de l’anneau $\{\bf L\}(E)$ des $A$-endomorphismes d’un module de type fini $E$ sur un anneau local $A$ d’idéal maximal $m$, de corps des restes $k$. Si $C$ est un sous-module caractéristique, on définit un homomorphisme naturel de $\{\bf L\}(E)$ dans $\{\bf L\}(E/C)$. En particulier, si $C=mE$, l’image de $\{\bf L\}(E)$ dans $\{\bf L\}(E/mE)$ par cet homomorphisme $\varphi $ est une approximation de l’anneau $\{\bf L\}(E)$ par une sous-algèbre de la $k$-algèbre $\{\bf L\}(E/mE).$ Réciproquement, si $R$ est une algèbre de dimension finie sur un corps $k$, il existe un anneau local $A$ de corps des restes $k$ et un $A$-module de type fini $E$ tels que $\varphi [\{\bf L\}(E)]$ soit isomorphe à $R$. Si $E$ est fidèle, la surjectivité de $\varphi $ est équivalente au fait que $E$ est libre. Un exemple simple montre que l’homomorphisme naturel de $\{\bf L\}(E)$ dans $\{\bf L\}(E/m^iE)$ peut ne pas être surjectif pour $i$ grand. Si $C$ est un sous-module caractéristique maximal, l’idéal $\{\rm Hom\}_A(E,C)$ est bilatère maximal et, réciproquement, tout idéal bilatère maximal $I$ tel que $\Sigma _\{u\in I\}u(E)$ soit distinct de $E$ est de ce type. La recherche des $A$-modules $E$ tels que l’anneau $\{\bf L\}(E)$ soit commutatif se ramène, par extension d’anneau, à la recherche de modules dont les seuls endomorphismes sont les homothéties. Si l’anneau $A$ est intègre, l’égalité $\{\bf L\}(E)=A$ implique que $E$ est isomorphe à un idéal convenable de $A$. Il n’en est plus de même dans le cas général. L’étude d’un endomorphisme particulier $u$ se fait, si l’anneau $A$ est hensélien, par une technique de relèvement de décomposition en somme directe. Si l’anneau $A$ est factoriel, on obtient une condition suffisante portant sur le polynôme minimal de $u$.},
author = {Lafon, Jean-Pierre},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {commutative algebra},
language = {fre},
pages = {313-384},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Anneau des endomorphismes d'un module de type fini sur un anneau local},
url = {http://eudml.org/doc/73777},
volume = {11},
year = {1961},
}

TY - JOUR
AU - Lafon, Jean-Pierre
TI - Anneau des endomorphismes d'un module de type fini sur un anneau local
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1961
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 11
SP - 313
EP - 384
AB - L’objet de cet article est l’étude de l’anneau ${\bf L}(E)$ des $A$-endomorphismes d’un module de type fini $E$ sur un anneau local $A$ d’idéal maximal $m$, de corps des restes $k$. Si $C$ est un sous-module caractéristique, on définit un homomorphisme naturel de ${\bf L}(E)$ dans ${\bf L}(E/C)$. En particulier, si $C=mE$, l’image de ${\bf L}(E)$ dans ${\bf L}(E/mE)$ par cet homomorphisme $\varphi $ est une approximation de l’anneau ${\bf L}(E)$ par une sous-algèbre de la $k$-algèbre ${\bf L}(E/mE).$ Réciproquement, si $R$ est une algèbre de dimension finie sur un corps $k$, il existe un anneau local $A$ de corps des restes $k$ et un $A$-module de type fini $E$ tels que $\varphi [{\bf L}(E)]$ soit isomorphe à $R$. Si $E$ est fidèle, la surjectivité de $\varphi $ est équivalente au fait que $E$ est libre. Un exemple simple montre que l’homomorphisme naturel de ${\bf L}(E)$ dans ${\bf L}(E/m^iE)$ peut ne pas être surjectif pour $i$ grand. Si $C$ est un sous-module caractéristique maximal, l’idéal ${\rm Hom}_A(E,C)$ est bilatère maximal et, réciproquement, tout idéal bilatère maximal $I$ tel que $\Sigma _{u\in I}u(E)$ soit distinct de $E$ est de ce type. La recherche des $A$-modules $E$ tels que l’anneau ${\bf L}(E)$ soit commutatif se ramène, par extension d’anneau, à la recherche de modules dont les seuls endomorphismes sont les homothéties. Si l’anneau $A$ est intègre, l’égalité ${\bf L}(E)=A$ implique que $E$ est isomorphe à un idéal convenable de $A$. Il n’en est plus de même dans le cas général. L’étude d’un endomorphisme particulier $u$ se fait, si l’anneau $A$ est hensélien, par une technique de relèvement de décomposition en somme directe. Si l’anneau $A$ est factoriel, on obtient une condition suffisante portant sur le polynôme minimal de $u$.
LA - fre
KW - commutative algebra
UR - http://eudml.org/doc/73777
ER -

References

top
  1. [1] G. AZUMAYA, On maximally central Algebras, Nagoya math. journal, t. 2, 1951, 119-150. Zbl0045.01103MR12,669g
  2. [2] R. BAER, Automorphism Rings of primary abelian operator Groups, Ann. of math, 1943, 192-227. Zbl0061.05405MR4,267d
  3. [3] N. BOURBAKI, Algèbre, chap. 2, Hermann, 1955. 
  4. [4] N. BOURBAKI, Algèbre, chap. 3, Hermann, 1952. 
  5. [5] N. BOURBAKI, Algèbre, chap. 6 et 7, Hermann, 1952. 
  6. [6] N. BOURBAKI, Algèbre, chap. 8, Hermann, 1958. Zbl0102.27203
  7. [7] P. CARTIER, Questions de rationnalité des diviseurs en géométrie algébrique. Appendice, Bull. soc. math. de France, t. 86, fasc. 3, 1958, 245-250. Zbl0091.33501
  8. [8] CARTAN-EILENBERG, Homological algebra, Princeton University Press, 1956. Zbl0075.24305
  9. [9] A. CHATELET, Les groupes abéliens finis et les modules de points entiers, Paris, Gauthier-Villars et Lille, Bibliothèque universitaire, 1924. Zbl51.0115.02JFM51.0115.02
  10. [10] P. DUBREIL, Algèbre, Gauthier-Villars, 1954. 
  11. [11] P. GABRIEL, Objets injectifs dans les catégories abéliennes. Sem., P. Dubreil, M. L. Dubreil-Jacotin et C. Pisot, 1958-1959. Zbl0214.03301
  12. [12] N. JACOBSON, Structure of Rings, Providence. Amer. math. Soc., 195, (Amer. math. soc. coll. publ. 37). Zbl0073.02002
  13. [13] I. KAPLANSKY, Infinite abelian Groups, Ann. Arbor. Univ. of Michigan Providence, 1954. Zbl0057.01901MR16,444g
  14. [14] K. MORITA, Duality for Modules and its Applications to the Theory of Rings with minimum conditions. Sc. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku, sect. A, 1958, 83-142. Zbl0080.25702MR20 #3183
  15. [15] C. NESBITT, On the regular Representations of Algebras, Ann. of. math., 39, 1938, 634-658. Zbl0019.10201JFM64.0081.02
  16. [16] D. REES, The grade of an Ideal or Module, Proc. Cambridge. Phil. Soc., 53, 1957, 28-42. Zbl0079.26602MR18,637c
  17. [17] P. SAMUEL, Algèbre locale, Gauthier-Villars. Mem. Sc. math., fasc. 1, 1953. Zbl0053.01901MR14,1012c
  18. [18] P. SAMUEL, Remarques sur le lemme de Hensel, Proc. of the Int. Congress of Math., 1954, 63-64. 
  19. [19] J. P. SERRE, Géométrie algébrique et géométrique analytique, Ann. Inst. Fourier, t. 6, 1955-1956, 1-42. Zbl0075.30401MR18,511a
  20. [20] M. SHIFFMAN, The Ring of Automorphisme of an abelian Group, Duke math. Journal, t. 6, 1940, 579-597. Zbl0024.01702MR2,5aJFM66.0076.02
  21. [21] ZARISKI-SAMUEL, Commutative Algebra, Van Nostrand, 1958. 

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.