Problèmes relatifs à l'itération de fonctions suggérés par les processus en cascade

Serge Dubuc

Annales de l'institut Fourier (1971)

  • Volume: 21, Issue: 1, page 171-251
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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The author begins by studying harmonic (regular) functions of a branching process. He characterizes extreme positive harmonic functions and describes their asymptotic behaviour. Various examples of harmonic functions are given. The second part of the study is about harmonic functions which are linear functional on C k [ 0 , 1 ] , extreme rays of this cone are found. In the third part, a fine analysis of Schröder’s (or Abel’s) functional equation is done. The last section gives the proof that for a given supercritical branching process, there is a sequence of numbers M n such that the growth of the normalized population Z n M n converges in distribution to an absolutely continuous time branching processes.

How to cite

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Dubuc, Serge. "Problèmes relatifs à l'itération de fonctions suggérés par les processus en cascade." Annales de l'institut Fourier 21.1 (1971): 171-251. <http://eudml.org/doc/74025>.

@article{Dubuc1971,
abstract = {Dans la première partie du travail, l’auteur étudie les fonctions harmoniques associées à un processus en cascade sans disparition d’individus. Il achève la caractérisation des fonctions harmoniques positives extrémales, entreprise dans deux articles précédents et il détermine le comportement asymptotique de celles-ci. Un certain nombre d’exemples de fonctions harmoniques sont décrits. La deuxième partie du travail porte sur les fonctions harmoniques positives qui sont des fonctionnelles linéaires sur l’espace $C^k[0,1]$, les génératrices extrémales de ce cône sont précisées. La troisième partie introduit l’équation fonctionnelle de Schröder ou son équivalent, l’équation d’Abel. L’auteur fait une analyse fine de cette équation. Dans la dernière partie, sous la seule hypothèse que le processus a une moyenne finie plus grande que un, il est vérifié que l’on peut trouver une suite $M_n$ telle que la croissance de la population normalisée par $M_n : \{Z_n\over M_n\}$ tend en distribution vers une variable aléatoire absolument continue. Le tout se termine par une étude sommaire des processus en cascade qui peuvent être plongés dans le temps continu.},
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References

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  1. [1] J.N. BAKER, Zusammensetzungen ganzer Functionen Math.Zeitschr. Bd 69, (1958), 121-163. Zbl0178.07502
  2. [2] H. BAUER, Silovscher Rand und Dirichletsches Problem, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 11, (1961), 89-136. Zbl0098.06902MR25 #443
  3. [3] L. BERG, Unstetige, monotone Iterations gruppen reeler Functionen, Pub. Math. Debrecen 9, (1962), 47-56. Zbl0129.09307MR25 #4051
  4. [4] N. BOURBAKI, Integration Livre VI, Hermann, Paris. 
  5. [5] G. CHOQUET et P.A. MEYER, Existence et unicité des représentations intégrales dans les convexes compacts quelconques. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) (1963), 139-154. Zbl0122.34602MR26 #6748
  6. [6] J. DENY, Familles fondamentales. Noyaux associés. Ann. Inst. Fourier, Grenoble 3, (1951), 73-101. Zbl0047.34404MR16,698a
  7. [7] S. DUBUC, Positive Harmonic Functions of a Branching Process, Proc. Amer. Math. Soc. 21, (1969), 324-326. Zbl0176.47601MR40 #5027
  8. [8] S. DUBUC, La fonction de Green d'un processus de Galton-Watson, Studia Math. vol. 34, N° 1, (1969). Zbl0196.18802
  9. [9] M.P. FATOU, Sur l'itération analytique et les substitutions permutables, J. Math. pures et appl. 9ème série, t. 2, (1923), 343-384, et t. 3, (1924), 1-49. Zbl50.0690.01JFM50.0690.01
  10. [10] W. FELLER, An introduction to Probability Theory and its Applications, vol. II, John Wiley and Sons, New York. Zbl0138.10207
  11. [11] J. HADAMARD, Two works on iteration and related questions, Bull. Amer. Math. Soc. 50, (1944), 67-75. Zbl0061.26503MR5,185e
  12. [12] T.E. HARRIS, The theory of Branching Process, Springer-Verlag (1963). Zbl0117.13002MR29 #664
  13. [13] G. JULIA, Mémoire sur la permutabilité des fonctions rationnelles, Ann. Sc. de l'Ecole Norm. Sup. (3) 39 (1922), 131-215. Zbl48.0364.02JFM48.0364.02
  14. [14] H. KESTEN et B.P. STIGUM, A limit theorem for multidimensional Galton-Watson processus. Ann. Math. Stat. 37 (1966) 1211-1223. Zbl0203.17401MR33 #6707
  15. [15] H. KNESER, Reelle analytische Gösungen der Gleichung ϕ(ϕ(x)) = ex und verwandte Funktionalgleichungen, J. Reine angew. Math. 187 (1950) 56-67. Zbl0035.04801MR11,726e
  16. [16] M.G. KOENIGS, Recherches sur les équations fonctionnelles, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup. (1884). 
  17. [17] M. KUCZMA, On the Schröder equation Rozprawy Matematyczne XXXIV, (1963), 1-50. Zbl0121.33703
  18. [18] M. KUCZMA, Functional equations in a single variable, Ars. Polona, Varsovie. Zbl0196.16403
  19. [19] N. LEVINSON, Limiting theorems for Galton-Watson Branching Process, Illinois J. Math. 3, (1959), 554-565. Zbl0229.60057MR21 #6637
  20. [20] P. LEVY, Fonctions à croissance régulière et itération d'ordre fonctionnaire, Ann. Mat. Pura App. (4) 5 (1928), 269-298. Zbl54.0375.04JFM54.0375.04
  21. [21] A. LUNDBERG, On iterated functions with asymptotic conditions at a fixpoint, Arkiv. för Mat. Bd 5, (1965), 193-206. Zbl0196.45501MR29 #2556
  22. [22] P.A. MEYER, Probabilités et Potentiel, Hermann, Paris. Zbl0138.10402
  23. [23] H. MICHEL, Untersuchungen über stetige, monotone Iterations-gruppen reeller Functionen ohne Differenzierbarkeit voraussetzungen, Pub. Math. Debrecen 9, (1962), 13-46. Zbl0148.13702
  24. [24] P. MONTEL, Leçons sur les récurrences et leurs applications, Gauthier-Villars, Paris (1957). Zbl0077.06601MR19,427a
  25. [25] R.R. PHELPS, Lectures on Choquet's theorem, Van Nostrand, Princeton. Zbl0997.46005
  26. [26] E. PICARD, Leçons sur quelques équations fonctionnelles, Gauthier-Villars, Paris (1950). Zbl0035.06802
  27. [27] J.G. RITT, On the iteration of rational functions, Trans. Amer. Math. Soc. 21, (1920), 348-356. Zbl47.0312.01JFM47.0312.01
  28. [28] F. SPITZER, Principles of Random Walk, Van Nostrand, Princeton. Zbl0119.34304
  29. [29] B.P. STIGUM, A theorem in the Galton-Watson Process, Ann. Math. Stat. 37, (1966), 695-698. Zbl0154.43002MR33 #4996
  30. [30] G. SZEKERES, Regular Iteration of Real and Complex Functions, Acta Math. 100 (1958), 203-258. Zbl0145.07903MR21 #5744
  31. [31] A.G. WALKER, Commutative functions I, Quart J. Math. (Oxford) 17, (1945), 66-82. Zbl0063.08137

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